Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

Вариант 6

Тема: Алгебра матриц

Задание: Выполнить действия над матрицами.

 

1) С=3A-(A+2B)B

2) D=A2+B2+4E2

 

Тема: Обращение матриц

Обратить матрицу по определению:

Определитель матрицы:

Далее находим матрицу алгебраических дополнений (союзную матрицу):

Обратную матрицу находим:

По определению обратной матрицы:

Действительно:

Тема: решение матричных уравнений

 

Задание 1: Решить матричное уравнение:

 

Решение.

 

Нахождение столбца Х сводится к умножению матрицы на обратную:

 

Матрица коэффициентов А:

Найдем обратную матрицу A-1:

Определитель матрицы A:

Алгебраические дополнения:

   

  

  

Транспонированная матрица алгебраических дополнений:

Запишем выражение для обратной матрицы:

Итак, выполняем умножение матриц и находим матрицу X:

Ответ:

Задание 2: Решить систему уравнений матричным способом

Решение

 

Матричная запись уравнения:

Матрица коэффициентов А:

Найдем обратную матрицу A-1:

Определитель матрицы A:

Алгебраические дополнения:

  

  

  

Транспонированная матрица алгебраических дополнений (союзная матрица):

Запишем выражение для обратной матрицы:

Вычислим столбец неизвестных:

Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса

 

Задание 1: Исследовать и решить систему по формулам Крамера:

Найти решение системы уравнений по методу Крамера.

Согласно методу Крамера, если определитель матрицы системы ненулевой, то система из 4-х уравнении имеет одно решение, при этом значение корней:

,,,,

Где:

 - определитель матрицы коэффициентов - ненулевой.

 - определитель матрицы полученной путем замены первого столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.

 - определитель матрицы полученной заменой второго столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.

 - определитель матрицы полученной заменой третьего столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.

 - определитель матрицы полученной заменой четвертого столбца матрицы коэффициентов на столбец свободных членов.

Итак:

,

,

.

Задание 2: Решить эту систему по методу Гаусса.

Метод Гаусса заключается в сведении системы к треугольному виду.

Видим, что решение системы по методу Гаусса совпадает с решением по методу Крамера.