Беселеві функції

Беселеві функції

Курсова робота

"Беселеві функції"

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

.                  (1)

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

, , ,

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

.  (2)

:

,

Нехай  є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

,

звідки (після ділення на )

.

Записавши це у вигляді:

,

знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від , ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

; ;

; ;

.

В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

, ;

, .

Таким чином, , ,  повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

,

(3)

, ,

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо , ,  задовольняють рівнянням (3), тобто  рішення рівняння (2). Справді, підставляючи  в ліву частину (2) і ділячи потім на , одержимо:

.

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де , ,  – будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел , .

Перше з рівнянь (3) у випадку ,  називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку , позначаючи незалежну змінну буквою  (замість ), а невідому функцію – буквою  (замість ), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

.    (4)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

.

Тоді

,

,

,

.

Отже, приходимо до вимоги

або до нескінченної системи рівнянь

 ,

яка розпадається на дві системи:

 

Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі  можна взяти довільно; тоді … однозначно визначаються (якщо  не є цілим негативним числом). Взявши

,

знайдемо послідовно:

,

,

,

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень  і, отже, є рішенням рівняння (4) в області  (у випадку цілого  в області ).

Функція

 (5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу  одержимо:

,         (5`)

і, зокрема,

.  (5``)

Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу  функції  і  є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені . Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

.           (6)

Якщо  (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що  дорівнює нулю для …), приймає вид:

 (5```)

або, після заміни індексу підсумовування  на ,

,         (7)

звідки видно, що  задовольняє разом з  рівнянню Беселя

.

Але формула (6) у випадку цілого  вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

 ( – не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для  (ціле число) формулою:

,    (8`)

одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від  (у випадку , де  – ціле). Функція  називається беселевою функцією другого роду з індексом . Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

.   (9)

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

; ;

, ;

.

Отже,

.     (10)

Таким чином, операція  (що складається в диференціюванні з наступним множенням на ), застосована до , підвищує в цьому вираженні індекс  на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію  раз, де  – будь-яке натуральне число, одержуємо:

.  (10`)

Маємо:

;

Отже,

.    (11)

Таким чином, операція , застосована до , знижує в цьому вираженні індекс  на одиницю. Застосовуючи цю операцію  раз, одержуємо:

.        (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

; ; .

Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:

; ; .

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

,   (12)

.        (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через , . Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи ):

,    (13`)

звідки послідовно одержуємо:

,

, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де  – ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

,

,

отже,

.

Але , значить:

.    (14)

Далі

,

,

отже,

.

Але , тому

.    (15)

За допомогою (10') знаходимо:

,

а з огляду на (14)

,

отже, при цілому позитивному

.         (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

,

але в силу (15)

,

і, отже, при цілому позитивному

.       (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему  функцій  (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

,

де  – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному  (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

 (16)

(де x лежить в області визначення функцій системи ,  – усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню ) називається виробляючою функцією системи .

Обернено, нехай задана функція , де  пробігає деяку множину,  перебуває усередині деякого кільця, що залежить від , із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо  при кожному  аналітичне відносно  усередині відповідного кільця, тобто  виробляюча функція деякої системи  функцій. Справді, розклавши при кожному  функцію  в ряд Лорана по ступенях :

,

знайдемо, що система коефіцієнтів  цього ряду буде шуканою системою .

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції  розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності  в простий інтеграл, одержимо:

.          (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами  (…) виробляюча функція є:

.

Маємо:

, ,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі  й  були зв'язані залежністю , то ми могли покласти , одержавши підсумовування по одному індексі ). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих , для яких , отже, при  це буде ; при  це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є  в силу формул (5`) і (5```). Отже,

,       (18)

але це й доводить, що  є виробляюча функція для системи .

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:

,

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )

 (18`)

 (18``)

Заміняючи в (18`) і (18``)  на , знайдемо:

, (18```)

.    (18````)

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при  маємо , те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що  є парна функція від  є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для , права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при  знайдемо:

.         (19`)

5. Ряди Фур'є-Беселя

Розглянемо на якому-небудь інтервалі  (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння

, ,  (20)

де  й  – безперервні функції на . Нехай  і  – ненульові рішення цих рівнянь. Множення на  й на  й наступне вирахування дають

.

Нехай  і  належать  і , тоді після інтегрування в межах від  до  одержимо

.      (21)

Якщо  й  – сусідні нулі рішення , то між  і   зберігає постійний знак, нехай, наприклад,  на (, ) (у противному випадку варто замінити  на ), тоді ,  (рівність нулю виключено, тому що  – ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на  , то  повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між  і , тому що інакше  збереже постійний знак на (,). Нехай, наприклад,  на (,) (у противному випадку заміняємо  на ), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)<Q(x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z – ненульові рішення рівнянь (20), те між кожними двома сусідніми нулями y(x) перебуває принаймні один нуль z(x).

З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо  на , то кожне ненульове рішення рівняння  може мати на  не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти  й взяти ). Якщо  на  (де ), то для всяких двох сусідніх нулів  і  () кожного ненульового рішення рівняння  маємо  (це легко бачити, якщо покласти , взяти  й помітити, що нулями  будуть тільки числа виду ,  ціле). Якщо  на  (де ), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння  маємо  (це легко бачити, якщо покласти  й взяти ). Із сказаного випливає, що якщо  на , те для всяких двох сусідніх нулів  і  () кожного ненульового рішення рівняння  маємо .

Викладене показує, що якщо  безперервно на  й перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення  рівняння має на  нескінченно багато нулів. Якщо ще  поблизу  не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність , що має межею +∞, а якщо, крім того, , де , те .

Розглянемо рівняння Беселя

на інтервалі . Підстановка  приводить до рівняння

.

Очевидно,  і  мають ті самі нулі. Тому що , де  – ціла функція, то  не має нулів на  при досить малому , і тому що  при , те при кожному  нулі  на  утворять нескінченну зростаючу послідовність

причому .

Якщо , то  задовольнить рівнянню

на інтервалі (0, +∞). Підстановка  приводить до рівняння

і, отже,  задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних  і  маємо

, де ,

, де ,

звідки

,

отже,

, де .       (22)

Нехай тепер . Розкладання  по ступенях  починається зі члена, що містить , розкладання  по ступенях  починається зі члена, що містить , тому що коефіцієнт при  дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при  одержимо

,

тобто

, (23)

звідки видно, що якщо  і  є різними нулями функції , те

. (23`)

Цим доведено, що при  система функцій

на інтервалі  є ортогональної щодо ваги .

Переходячи до межі при  в співвідношенні

і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому

,        (24)

отже, якщо  є нулем функції , те

.      (24`)

Таким чином, при кожному  всякій безперервній функції  на , що задовольняє вимозі

,

поставлений у відповідність ряд Фур'є-Беселя

,       (25)

коефіцієнти якого визначаються формулами

.       (25`)

Можна довести, що система функцій  на , ортогональна щодо ваги , замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.

Можна показати, що якщо  й  безперервна на  й функція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при .

6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

Нехай  – позитивна функція й  – яка-небудь функція для досить більших значень . Запис

 при

означає, що найдуться такі числа  й M, що при  маємо .

Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо  – позитивна функція й  – яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , то запис

 при

означає, що найдуться такі числа  й , що  на .

Допоміжна лема

Якщо  двічі безупинно диференцюєма на , то для функції

має місце асимптотичне подання

 при .

Доведемо цю лему. Заміняючи на , одержимо:

.(26)

Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи  на , знайдемо:

,

але, замінивши на , одержимо:

.

Якщо  позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то  й , а отже, і  є  при , тому

 при ,

звідки

 при .

Отже, одержуємо асимптотичне подання:

 при .      (27)

Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:

,

.

Очевидно,  двічі безупинно на , але існують  і , тому  стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає:

,

де перший доданок правої частини  є  при , а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі

,

який сходиться, тому що

 при ;

отже, другий доданок є теж  при .

Отже, маємо:

 при .   (28)

З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:

 при .       (29)

Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:

 при .      (29')

Формули (29) і (29`) вірні й для функцій .

Висновок асимптотичної формули для Jn(x)

Заміняючи  на , одержимо:

(з огляду на, що  є парна функція від , а  є непарна функція від ). Підстановка  дає:

,

де  є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що  є поліном n-й ступеня відносно . Але

і, заміняючи в першому із цих інтегралів  на , одержимо:

Тому що  й  на  мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:

;

але ; , отже,

.

Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:

 при .        (30)

Ця формула показує, що  з точністю складається до порядку, що,  є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.

Зокрема,

 при ; (30`)

 при .        (30'')

Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.

Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя.

1. Знайти рішення рівняння Беселя при

,

задовольняючим початковим умовам при ,  і .

Рішення.

На підставі формули (5') знаходимо одне приватне рішення:

.

2. Знайти одне з рішень рівняння:

, .

Рішення.

Зробимо заміну

.

При  одержимо:

.

При  будемо шукати рішення у вигляді узагальненого статечного ряду:

.

Рівняння на  має вигляд ;

, , , , тому

,

, .

Рисунок 1 – Графік функції y=J0 (x)

Рисунок 2 – Графік функції y=J1 (x)

Висновок

Розглянуті усі рішення рівнянь, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій. Складені графіки функцій.

Список літератури

1. Пискунов Н.С. Диференціальне й інтегральне вирахування, навчальний посібник для вузів. – К., 2003

2. Романовський П. І. «Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні й спеціальні функції. Перетворення Лапласа», навчальний посібник для вузів. – К., 2004

3. Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003

4. Синіцин О.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003