Численные методы

Численные методы

МЕТОД ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА.

1. Основная идея метода. Может оказаться, что система

Ax=f                                                     (1)

имеет единственное решение, хотя какой-либо из угловых миноров матрицы А равен нулю. В этом случае обычный метод Гаусса оказывается непригодным, но может быть применен метод Гаусса с выбором главного элемента.

Основная идея метода состоит в том, чтобы на очередном шаге исключать не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент. Тем самым, если  , то в процессе вычислений не будет происходить деление на нуль.

Различные варианты метода Гаусса с выбором главного элемента проиллюстрируем на примере системы из двух уравнений

                                    (2)

Предположим, что . Тогда на первом шаге будем исключать переменное . Такой прием эквивалентен тому, что си­стема (2) переписывается в виде

                                      (3)                            

           

и к (3) применяется первый шаг обычного метода Гаусса. Указанный способ исключения называется методом Гаусса с выбором главного элемента по строке. Он эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения про­водится соответствующая перенумерация переменных.

Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Предположим, что .  Перепишем систему (2) в виде

                                                                     

          

и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса. Таким образом, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен применению обычного метода Гаусса к системе, в которой на каждом шаге исключения проводится соответствующая перенумерация уравнений.

Иногда применяется и метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице, когда в качестве ведущего выбирается максималь­ный по модулю элемент среди всех элементов матрицы системы.

2. Матрицы перестановок. Ранее было показано, что обычный метод Гаусса можно записать в виде

        

где -элементарные нижние треугольные матрицы. Чтобы получить аналогичную запись метода Гаусса с выбором главного элемента, необходимо рассмотреть матрицы перестановок.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Матрицей перестановок Р называется квад­ратная матрица, у которой в каждой строке и в каждом столбце только один элемент отличен от нуля и равен единице.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Элементарной матрицей перестановок на­зывается матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой к-й и l-й строк.

Например, элементарными матрицами перестановок третьего по­рядка являются матрицы

  

  Можно отметить следующие свойства элементарных матриц пере­становок, вытекающие непосредственно из их определения .                 

1) Произведение двух (а следовательно, и любого числа) элементар­ных матриц перестановок является матрицей перестановок (не обязательно элементарной).

2)  Для любой квадратной матрицы А матрица отличается от А перестановкой к-й и l-é ñòðîê.

3)  Для любой квадратной матрицы А матрица отлича­ется от А перестановкой к-го и l-го столбцов.

Применение элементарных матриц перестановок для описания метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно пояс­нить на следующем примере системы третьего порядка:

                                    (4)

Система имеет вид (1), где

                                          (5)

Максимальный элемент первого столбца матрицы А находится во вто­рой строке. Поэтому надо поменять местами вторую и первую строки и перейти к эквивалентной системе

                                          (6) 

Систему (6) можно записать в виде

                                                    (7)

т.е. она получается из системы (4) путем умножения на матрицу

пе­рестановок

           

Далее, к системе (6) надо применить первый шаг обычного метода ис­ключения Гаусса. Этот шаг эквивалентен умножению системы (7) на элементарную нижнюю треугольную матрицу

       

В результате от системы (7) перейдем к эквивалентной системе

                                           (8)

или в развернутом виде

                               (9)

Из последних двух уравнений системы (9) надо теперь исключить перемен­ное . Поскольку максимальным элементом первого столбца уко­роченной системы

                                          (10)                           

является элемент второй строки, делаем в (10) перестановку строк и тем самым от системы (9) переходим к эквивалентной системе

                                    (11)

которую можно записать в матричном виде как

                 .                 (12)  

Таким образом система (12) получена из (8) применением элемен-тар­ной матрицы перестановок

                 

Далее к системе (11) надо применить второй шаг исключения обычного метода Гаусса. Это эквивалентно умножению системы (11) на элементарную нижнюю треугольную матрицу

                  

В результате получим систему

                                        (13)

или

                                            (14)                   

Заключительный шаг прямого хода метода Гаусса состоит в замене последнего уравнения системы (14) уравнением

                        

что эквивалентно умножению (13) на элементарную нижнюю треугольную мат­рицу

                    

Таким образом, для рассмотренного примера процесс исключения Гаусса с вы­бором главного элемента по столбцу записывается в

виде 

                          (15)

По построению матрица

                                                 (16)

является верхней треугольной матрицей с единичной главной диаго­налью.

Отличие от обычного метода Гаусса состоит в том, что в качестве сомножителей в (16) наряду с элементарными треугольными матри­цами могут присутствовать элементарные матрицы перестановок .

Покажем еще, что из (16) следует разложение

           PA=LU,                                                    (17)

где L -нижняя треугольная матрица, имеющая обратную, P - матрица перестановок.

Для этого найдем матрицу

                                                       (18)  

По свойству 2) матрица получается из матрицы переста­новкой второй и третьей строк,

                  

Матрица согласно свойству 3) получается из  перестановкой второго и третьего столбцов

               

т.е. -нижняя треугольная матрица, имеющая обратную.

Из (18), учитывая равенство , получим

                                                      (19)

Отсюда и из (16) видно, что

               

где обозначено . Поскольку Р-матрица перестановок и L-нижняя треугольная матрица, свойство (17) доказано. Оно означает, что метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу эквивалентен обычному методу Гаусса, примененному к мат­рице РА, т.е. к системе, полученной из исходной системы перестанов­кой некоторых уравнений.

3. Общий вывод. Результат, полученный ранее для очень частного примера, справедлив и в случае общей системы уравнений (1).

А именно, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу можно записать в виде

                       (20)          

где - элементарные матрицы перестановок такие, что

  и -элементарные нижние треугольные матрицы.

 Отсюда, используя соотношения перестановочности, аналогичные (19), можно показать, что метод Гаусса с выбором главного элемента эквивалентен обычному методу Гаусса, примененному к си­стеме

            PAx=Pf,                                               (21)                                                

где Р - некоторая матрица перестановок.

Теоретическое обоснование метода Гаусса с выбором главного элемента содержится в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Если то существует матрица перестано-

вок Р такая, что матрица РА имеет отличные от нуля угловые ми-

норы.

Доказательство в п.4.

СЛЕДСТВИЕ. Если то существует матрица престана-

вок Р такая, что справедливо разложение

              РА=LU,                                            (22)

где L- нижняя треугольная матрица с отличными от нуля диагональными элементами и U- верхняя треугольная матрица с единичной главной диагональю. В этом случае для решения системы (1) можно применять метод Гаусса с выбором главного элемента.

4. Доказательство теоремы 1. Докажем теорему индукцией по числу m -порядку матрицы А.

Пусть m=2, т.е.

             

Если  то утверждение теоремы выполняется при Р=Е, где Е - единичная матрица второго порядка. Если , то , т.к. При этом у матрицы

     

все угловые миноры отличны  от нуля.

Пусть утверждение теоремы верно для любых квадратных матриц порядка m-1. Покажем, что оно верно и .для матриц порядка m. Разобьем матрицу А порядка m на блоки

      

где                    

      

      

Достаточно рассмотреть два случая : и . В первом случае по предположению индукции существует матрица перестановок порядка m-1 такая, что имеет отличные от нуля угловые миноры. Тогда для матрицы перестановок

        

имеем

         

причем . Тем самым все угловые миноры матрицы РА отличны от нуля.

Рассмотрим второй случай, когда . Т.к. , найдется хотя бы один отличный от нуля минор порядка m-1 матрицы А, полученный вычеркиванием последнего столбца и какой-либо строки. Пусть, например,

где .

Переставляя в матрице А строки с номерами l и m, получим матрицу , у которой угловой минор порядка m-1 имеет вид

     

и отличается от (23) только перестановкой строк. Следовательно, этот минор не равен нулю и мы приходим к рассмотренному выше случаю.

Теорема доказана.