Экстремальная задача на индексационных классах

Экстремальная задача на индексационных классах

Содержание

Введение

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1. Экстремальная задача

§ 2. Свойства отображения

§ 3. Доказательство теоремы

Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)

Литература

Введение

В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.

Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1<A2<…<Ak+1, такие, что

а) ;

б) знаки функции D(t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются.

Пусть f(t) и g(t) – функции на R1. Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.

Нетрудно видеть, что отношение  выполнено тогда и только тогда, когда

а) не существует точки x1, …, xk (-¥<x1<…<xk<¥) такие, что

(-1)k-i f(xi) > (-1)k-i g(xi), ;

б) существуют точки y1, …, yk (-¥<y1<…<yk<¥) такие, что

(-1)k-i f(yi) > (-1)k-i g(yi), .

Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, g Î F.

Определение 2. Пишем , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: ,  , , . Пишем , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений: ,  ,, .

Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение  и не выполнено . Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено  и не выполнено .

Через Ik- (Ik+), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F.

Пусть U – семейство функций на [0, ¥).

Через FU обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы

, uÎU,

абсолютно сходятся.

В случае  положим , fÎFU, AÌFU, :

, Fi(A)={Fi(f): fÎA},

, ,

.

Множество  называется моментным пространством класса F относительно системы функций .

Лемма 1. Пусть системы u1(t), …, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0, ¥) такие, что . Тогда отношение  невозможно для  и, если , то

.

Доказательство. Допустим, что , где k£n, и A1, …, Ak – множества строгого знакопостоянства функции D=g - f. Для векторов  рассмотрим матрицу

.

Так как

, ,

то есть

, (1)

где di(-1)k-i,  и di=0,  для всех векторов .

Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим

, (2)

где 0£x1<x2<…<xk<¥. Так как векторы  линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов  . Из (2) получаем .

Пусть теперь  и .

Так как

, (3)

где di=(-1)n+1-i, , то

,

где H – матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0.

Определение 3. Скажем, что последовательность {fi}i³1 функций на [0, ¥) относительно класса U слабо сходится к функции f , если

для всех uÎU.

Определение 4. Множество AÌFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fÎA и множество А имеет вид , где V открыто,  при ,  при  .

Множество AÌFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fÎA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.

Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)£L при t³0, fÎF;

2. ;

3. Множества Ik- (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Из любой последовательности {fi}i³1ÌI-k+1 (k>n) такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .

Пусть система  образует T+ - систему на [0, ¥).

Рассмотрим систему функций , такую, что wi=ui для  и  - T+ - системы для m³n (см. [1]).

Теорема 1. Пусть система  образует T+ - систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj}j³1ÌIk- такая, что . Зафиксируем произвольное fl.

Если flÎIk-, где k£n+1, то положим fl*=fl.

Пусть k>n+1 и s={} – (k-1, W) окрестность fl в Ik-.

Рассмотрим произвольные  и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и  невозможны для s£k-1. Следовательно,  и , что невозможно.

Таким образом, отображение  непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что  - открытое множество в Rk-1, содержащее .

Пусть ,  и  - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x1, …, xk-2. Условие bk-1=0 противоречит чебышевости системы . Положим bk-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk-2.

Имеем

,

где cli – i-ая компонента вектора , и, следовательно,

.

Так как константа К не зависит от f, то ml >-¥.

Кроме того, .

Возьмем последовательность , такую, что

Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p<q и

,

Рассмотрим произвольные flp и flq, где p<q. Так как , то отношения  и  невозможны для s£k-2. Отношения  и  невозможны, так как flp, flqÎIk-. Из леммы 1 получаем .

Так как , то найдется функция , такая, что Fk-1(fl’)=ml.

Отношение fl’ÎIk- невозможно, в силу определения числа ml и принципа инвариативности области. Отношения fl’ÎIm- для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно .

Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия  следует утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен;

2. ;

3. Множества Ik+ (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {fi}i³1ÌIk+ такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;

5. Ik+ÌFU для k³n+1.

Теорема 2. Пусть система  образует T+-систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Определение 6. Систему  непрерывных на [0, ¥) функций назовем T+1-системой, если она является T+-системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul+1, …, un также являются T+-системами для .

Лемма 2. Пусть - T+1-система на [0, ¥), функции f и g таковы, что

(-1)n-i Fi(f) ³ (-1)n-i Fi(g), .

Тогда отношения ,  и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение  и 1£p£n.

Пусть x1, …, xp-1 (-¥<x1<…<xp-1<¥) – точки перемен знака функции ; xо=-¥, xn=¥; . Выберем точки xn-1<xn-2<…<xp<xp-1 так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где hi=±1. Из условия  следует, что hn=1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А – матрица, записанная в (4) слева, Ani – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T+1-система на [0, ¥), то detA>0, detAni>0, . Следовательно, hn£0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T+1-система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов  так, чтобы  при  и

для , j³1.

Согласно теореме 1, для любого  найдется последовательность  такая, что .

Существует j1, такое, что , где r - какая-либо метрика в Rn, и

, .

Выберем j2 так, чтобы  и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность  такую, что  и

 (5)

Рассмотрим произвольные  и . Отношения  и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция  такая, что . Включение  противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности  следует утверждение теоремы 2.

Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1 Экстремальная задача

Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W(k)(t)>0 для tÎ[a, b] и ; c1, …, cn – вещественные константы; xÎ[a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла

на множестве   ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям

, .

Для классов Âo - всех ФР на [a, b] и ВL – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -¥<x<y<¥, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Âo, BL, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k³1, AÌÂ, sÎÂ): Ik+ (Ik-) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+ (k-); ;  - пространство моментов порядка k; ; ; , .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть , . Тогда:

1.                  ,

2.                  ,

3.                  ,

4.                  .

§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого  существует и единственная ФР .

2. Если , то множество  одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства  (т. е.  при  и (значок Þ обозначает слабую сходимость)) и  ФР такие, что ,, , для aÎ(0,1) и  для bÎ(0,1).

Пусть  и , где , xÎ[a, b].

Функция Ás непрерывна слева на [a, b] и Ás(a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Ás(x) не убывает по x.

Далее, из skÞs при k®¥ следует ÁÞÁs. Следовательно, семейства распределений {Á} и {Á} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0(f)<…<Bm(f) (под X<Y (X, YÌR1) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)j f(x)>0 (или (-1)j+1f(x)>0 при xÎBj(f),  и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения Á (Á) и для любого Ám, , функция Ám - Á(Ám - Á) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция Ám - Áимеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x0<x1<…<xn+3£b такие, что (-1)i [Ám -Á] > 0, . Кроме того, Ám(a)=Á(a)=0. Следовательно, существуют точки y0Î[a, x0), y1Î[x0, x1), …, yn+3Î[xn+2, xn+3) такие, что функция (-1)i [m(t) - ha(t)] возрастает в точке yi, , что противоречит условию .

Равенство  запишем в виде

Ás(t)=ci, ,

где , , с0 = 1.

Очевидно, что последовательности u0, …, uk, , образуют T+ - системы на [a, b]. Из условия W(k)(t)>0 для tÎ[a, b] и  следует (см. [1]), что последовательности –u0, …,-uk , также образуют T+ - системы. Следовательно, выполнены условия мажоризационной теоремы (см. [4]) и функция Ám - Áне может иметь n+1 строгих перемен знака.

Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами Bi(f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P0(f)=(-¥, infB1(f)], Pi(f)=[supBi-1(f), infBi+1(f)],

 , Pk(f)=[supBk-1(f), +¥).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{Da=Ás - Á:aÎ[0,1]} и {db=Ás - Á:bÎ[0,1]}.

Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция Da (db) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция Da (db) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция Da (db) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция Da (db) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X0(a), …, Xn+2(a) (Y0(b), …, Yn+2(b)) следующим образом. Если a (b) есть:

1. параметр первого типа, то

Xi(a)=Pi(Da),  (Yi(b)=Pi(db), );

2.  

3. параметр второго типа, то

Xi(a)=Pi-1(Da), , X0(a)=(-¥, infB0(Da)],

(Yi(b)=Pi(db), , Yn+2(b)=(supBn+1(db), +¥));

4. параметр третьего типа, то

Xi(a)=Pi(Da), , Xn+2(a)=[supBn+1(Da), +¥)),

(Yi(b)=Pi-1(db), , Y0(b)=(-¥, infB0(db)]).

Таким образом:

(-1)n-iDa(t)£0 при tÎIntXi(a), , (1)

(-1)n-idb(t)³0 при tÎIntYi(b), .

При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntXi(a) и (-1)n-iDa(t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntYi(b) и (-1)n-idb(t)³0 при tÎY.

Заметим также, что Xi(0)=Yi+1(0), Xi+1(1)=Yi(1).

Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR1 непрерывно, если из gi®g0, xi®x0, где g0, gi Î[0, 1], xiÎZ(gi), i³1, следует x0ÎZ(g0).

Лемма 2. Отображения Xi(a), Yi(b),  непрерывны.

Доказательство. Пусть aj®a, j®¥. Обозначим через  границы отрезка Xi(aj). Определим a0=-¥. Возьмем произвольную точку a1 сгущения последовательности {a1(j)}j³1. Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {ai(j)}j³1,  и {bi(j)}j³1, . Положим bn+2=+¥.

Итак,

, ,  (2)

причем -¥=a0<a1£b0£a2£b1£…£an+1£bn£an+2£bn+1<bn+2=+¥.

Из (1) и (2) следует, что для .

(-1)n-iDa(t)£0 (3)

при tÎ(ai, bi), если ai¹bi.

Из (3) и  следует, что ai¹bi, , так как в противном случае функция Da имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения Xi(a) следует [ai, bi]ÌXi(a),. Для любого i из xjÎ[ai(j), bi(j)] и xj®x0 вытекает, что x0Î[ai, bi]. Следовательно, x0ÎXi(a).

Непрерывность отображений Yi(b) доказывается аналогично.

§ 3 Доказательство теоремы

В случае утверждение теоремы очевидно.

Пусть .

Лемма 3. Для любого ФР  и любой точки xÎ[a, b] существует ФР  такая, что Áv(t)³Ás(t) (Áv(t)£Ás(t)) в некоторой окрестности точки x.

Доказательство. Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎYi(0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d0£0. В этом случае положим .

Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎYi(0).

Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏYi(1). Пусть . Согласно лемме 2, xÎYi(b¢). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно, существует последовательность {bj}j³1 такая, что xÎYi(bj) и bj®b¢. Пусть для некоторого bl не существует такого k, что n-k четно и xÎYk(bl). Тогда в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем . Если же для всех bj, j³1, существует kj такие, что n-kj четны и , то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎYm(bj) для бесконечного числа элементов последовательности {bj}. По лемме 2 xÎYm(b¢). Так как n-i и n-m четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎYi(b¢).

б) Предположим, что xÎYi(1)=Xi+1(1). Пусть a¢=inf{a:xÎXi+1(a)}. Согласно лемме 2, xÎXi+1(a¢). Если a¢=0, то xÎXi+1(0)=Yi+2(0). Это противоречит условию xÎXi+1(a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).

Случай II, i=n+2. а) При x¹Yn+2(1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.

б) Пусть xÎYn+2(1). Так как Yn+2(1)ÌYn+1(1), то xÎYn+1(1). Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Yn+1(1), так как в этом случае множества Yn+1(1) и Yn+2(1) совпадают, что невозможно. Так как xÎYn+1(1) и не совпадает с левым концом отрезка Yn+1(1), то d1(t)£0 в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем .

Итак, доказано существование такой ФР , что Ás-Án£0 в некоторой окрестности точки x. Случай Ás-Án³0 рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

Ás(x) и Ás(x+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=Ás(x) . Пусть последовательность ФР , i³1, такова, что Á. Выберем подпоследовательность последовательности {si}, слабо сходящуюся к некоторой ФР  . Покажем, что Ás(x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Ás(x)-Ás(x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Ás. Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á(x¢)-Ás(x¢)½<e¤2, из которого следует, что Ás(x¢) - Á(x¢)<e, j>N. Так как Á(x¢) £ Á(x), то Ás(x) - Á(x)<e, откуда следует Ás(x) - d£e. Последнее неравенство влечет Ás(x)=d.

Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)

В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u0º1 на [0, ¥) функций образуют T+-системы на [0, ¥).

Положим (1£i£n, sÎÂ):

, ,

 - моментное пространство класса Â относительно системы .

Пусть .

Найти , где .

10. Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Âх решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.

Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Âх={sÎÂ:s(x+0)=1}.

Очевидно, для любых x1<x2

 (1)

Предположим, что для любого x>0 Âх - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству , L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение

 (-замыкание множества XÌRn),

где Ii- - множество всех ФР, имеющих индекс i- в Â.

Кроме того, для этих классов справедливо включение , и следовательно,

 (2)

Лемма 1. .

Доказательство. Пусть . Из выпуклости множества  следует, что точка  является внутренней точкой некоторого (n+1)-мерного симплекса, лежащего в , т. е. существуют векторы , и числа l1>0, …, ln>0, ln+1>0 такие, что .

Из (2) следует существование последовательностей , таких, что

.

Тогда для достаточно больших k выполнено равенство

,

где , .

Следовательно, .

Из леммы 1 следует, что  для достаточно больших x. Так как класс Âx является индексационным на [0, x], то ([5])

,

,

где ,  () – ФР с нижним (верхним) индексом n+1 в классе Âx.

Так как ФР  имеет индекс (n+1)- в Â и , то

.

Из (1) следует, что

.

Вид экстремальных ФР  и  для рассматриваемых классов имеется в [5].

20. Второй подход продемонстрируем на примере класса Â0 всех ФР на [0, ¥).

Лемма 2. Если u0, u1, …, un – T+-система на [0, ¥), то для всех i и j существуют пределы .

Доказательство. Из определения T+-системы следует, что для произвольных i, j и чисел a, b функции uj(t) и auj(t)+buj(t) обращаются в нуль более, чем в n+1 точках.

Пусть х – наибольшее решение уравнения uj(t)=0. Рассмотрим уравнение

auj(t)+buj(t)=0, t>x. (3)

Уравнение  (ui(t)¹0, t>x) имеет не более (n+1) решений на (x, ¥) при любых a, b.

Пусть , .

Допустим, что  не существует, т. е. А<B.

Введем последовательности {ti}i³1, {ti}i³1, удовлетворяющие условиям:

а) tk®¥, tk®¥ при k®¥;

б) , ;

в) t1<t1<t2<t2<…<tm<tm<… .

Пусть cÎ(A, B).

Из-за непрерывности функции  на (x, ¥) уравнение

имеет бесконечное множество решений на (x, ¥).

Выберем 0£j0£n так, чтобы  для всех  и обозначим .

Пусть число t0 таково, что  при t>t0.

Рассмотрим функцию

Пусть , , .

Легко видеть, что системы v0, v1, …, vn и v0, v1, …, vn, W являются T+-системами на [0, ¥).

Предположим, что эти системы являются T+-системами также на [0, ¥], т. е. для любых 0£t0<t1<…<tn-1<tn<¥

, ,

где .

Через  обозначим множество ФР sÎÂ0, для которых интегралы , , абсолютно сходятся.

Пусть  - моментное пространство класса  относительно системы .

Рассмотрим класс непрерывных слева и неубывающих на [0, ¥) функций .

Имеем , т. е. .

Заметим, что отображение  является взаимно однозначным, причем .

Таким образом,  - множество всех неубывающих, непрерывных слева функций ограниченной вариации на [0, ¥).

Пусть .

Необходимо найти

. (4)

Из равенств (sÎÂ0U)

следует, что задача (4) эквивалентна следующей.

Найти

, (5)

где  - множество функций , удовлетворяющих равенствам

, , .

Таким образом, задача в классе Â0 сведена к задаче (5), решение которой приведено, например, в [3].

Именно для любого

,

где - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках  при нечетном n и в точках  при четном n, - ступенчатая функция, имеющая положительные скачки в точках  при нечетном n и в точках  при четном n.

Из приведенных выше рассуждений следует, что

,

,

где , ,

r - величина скачка функции  в точке ¥.

Литература

1.        Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – Москва: Наука, 1973.

2.        Таталян К.Р. Экстремальные задачи проблемы моментов на классах распределений. – Дисс. на соиск. ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МИЭМ, 1988.

3.        Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. – Москва: Наука, 1976.

4.        Даниэлян Э.А., Таталян К.Р. О проблеме моментов на мажоризируемых классах. – Ереван: Межвуз. сб. научн. трудов “Прикладная математика”, № 7, 1988.

5.        Манукян В.Р. О проблеме моментов для индексационных классов распределений. – Ереван: ДАН РА, том XCI, № 4, 1990.