Экстремумы функций

Экстремумы функций

Содержание.

1. Введение………………………………………………3
2. Историческая справка………………………………..4
3. Экстремумы функций одной переменной.

3.1. Необходимое условие……………………………6

3.2.1. Достаточное условие. Первый признак………8

3.2.2. Достаточное условие. Второй признак……….10

3.3. Использование высших производных………….12
4. Экстремумы функций трех переменных.

4.1. Необходимое условие…………………………...13

4.2. Достаточное условие…………………………….14
5. Экстремумы функций многих переменных.

5.1. Необходимое условие……………………………19

5.2. Достаточное условие…………………………….21

5.3. Метод вычисления критериев Сильвестера……24

5.4. Замечание об экстремумах на множествах…….33
6. Условный экстремум.

6.1. Постановка вопроса……………………………..35

6.2. Понятие условного экстремума…………………36

6.3. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума…………………………………..38

6.4. Стационарные точки функции Лагранжа………42

6.5. Достаточное условие…………………………….49
7. Заключение……………………………………………54
8. Библиография..………………………………………..55

Цель данного дипломномного проекта заключается в рассмотрении экстремумов функции одной и многих переменных и подробном описании методов их нахождения.

Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума функции, выборе метода нахожденя экстремумов и их полном математическом обосновании.

Гипотезой дипломного проекта является рассмотрение и описание экстремумов функции трёх переменных, формулировании необходимого и достаточного условия их существования, а также рассмотрение метода вычисления критериев Сильвестера.

В качестве объекта для исследования и описания использовались функции одной и многих переменных.

1. Введение.

Вмире не происходит ничего, в чем бы не был виден

Смысл какого-нибудь максимума или минимума.

Л.Эйлер.

В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы первые методы решения и исследования задач на экстремум.

Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше.

Потребности техники, в частности космической, выдвинули серию задач, которые также не поддавались средствам вариационного исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые – шестидесятые годы советскими математиками – Л.С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.

Цель дипломного проекта – рассмотрение и описание функций одной и многих переменных, а также в рассмотрении методов, используемых при этом.

Данный дипломный проект рассчитан на абитуриентов высших учебных заведений. На вопрос - можно ли ввести рассмотрение этой темы в старших классах школы – ответ будет дан в последней главе дипломного проекта, после рассмотрения задач и возможных методов их решения.

В дипломном проекте с большей логической стройностью и без повторений приведено изложение темы – функции одной и многих переменных, сообщены сведения из математического анализа, необходимые при изучении физики и ряда инженерных дисциплин.

2.Историческая справка.

В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное) решение.
Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

В математике исследование задач на максимум и минимум началось очень давно – двадцать пять веков назад, Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько – нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад – в эпоху формирования математического анализа – были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x).
Ферма составлял уравнение (f(x+h)-f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0, вопреки мнению позднейших исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y)-f(x))/(y- x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями.

Рассуждения при нахождении экстремума функции f(x) следующие.
Пусть для некоторого x функция достигает максимума. Тогда f(x h)0 x2 x2 y2 x y

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - ----------

----- -- x2 x2 z2 y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- + x z y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- >0 x z y2

3)если

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2

--------------- -------------------------------- - ----------

----- -- x2 x2 z2 y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------- -------------------------------- --

x y x y z2

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- --------------------------------- + x z y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
2 f(x0,y0,z0)

+ --------------- -------------------------------- --

x z x y y z

2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)

-- ------------------------------- =0 x z y2 то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )

4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума.

5.Экстремумы функций многих переменных.

5.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция u=f(x1,x2,…,xn) определена в области D и
(x10,x20,…,xn0) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция u=f(x1,x2,…,xn) в точке (x10,x20,…,xn0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x10 x10 x20 x20 xn0 xn0 ) что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство f(x1,x2,…,xn))

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x10,x20,…,xn0) выполнялось строгое неравенство f(x1,x2,…,xn)) то говорят, что в точке (x10,x20,…,xn0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.

Предположим, что наша функция в некоторой точке (x10,x20,…,xn0) имеет экстремум,

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные fx1’(x10,x20,…,xn0) ,…, f ’xn(x10,x20,…,xn0) то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x2=x20,…,xn= xn0 сохраняя x1 переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной x1 : u=f(x1, x20,…,xn0)

Так как мы предположили, что в точке (x10,x20,…,xn0) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x10- , x10+ ) точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство f(x1, x20,…,xn0)< f(x10,x20,…,xn0) так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что fx1’(x10,x20,…,xn0)=0

Таким образом можно показать, что в точке (x10,x20,…,xn0) и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений fx1’(x10,x20,…,xn0)=0

……………………. (5.1) f ’xn(x10,x20,…,xn0)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так : d f(x1,x2,…,xn)=0 так как, если fx1’= fx2’=…= f ’xn , то каковы бы ни были dx1,dx2,…,dxn всегда f(x1,x2 d,…,xn)= fx1’ dx1+ fx2’ dx2+…+ f ’xn dxn=0

И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx1,dx2,…,dxn производные fx1’, fx2’,…, f ’xn порознь равны нулю.

Обычно, рассматриваемая функция f(x1,x2,…,xn) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек.
Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» по экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности – графика функции).

5.2.Достаточные условия экстремума.

Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.

Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.

Пусть функция f(x1,x2,…,xn) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядковокрестности некоторой стационарной точки (x10,x20,…,xn0).Разлагая разность

= f(x1,x2,…,xn)-f(x10,x20,…,xn0) по формyле Тейлора, получим

= { fx ’’ x12+fx ’’ x22+…+fx ’’ xn2+2fx1x2 ’’ x1 x2+ +2fx1x3

’’ x1 x3+…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn}= fxixj ’’ xi xj где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке

(x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn) (00,…, a21 a22… a2n a31 a32 a33

…………………

an1 an2… ann

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

Пользуясь этими понятиями. Сформулируем достаточные для существования экстремума условия :

Если второй дифференциал,т. е. квадратичная форма aik xi xk (5.6) со значениями (5.2) коэффициентов – оказывается определенной положительной (отрицательной) формой, то в используемой точке
(x10,x20,…, xn0) будет собственный минимум (максимум).

Для доказательства введем расстояние

= x12+…+ xn2 между точками (x10,x20,…,xn0) и (x1,x2,…,xn). Вынося в (5.5) за скобку и полагая xi (i=1,2,…,n)

перепишем выражение для в виде

= { aik Ei Ek+ ik Ei Ek}

(5.7)

Числа Ei зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма
(5.7) – положительная, первая сумма в скобках в формуле (5.7) иммет всегда положительный знак. Больше того, так как

Ei=1

(5.8) то найдется такое постоянное положительное число m, что при всех возможных значениях Ei будет aik Ei Ek>m

Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию от аргументов Ei во всем пространстве,в частности же и в множестве М тех точек(E1,…, En), которые удовлетворяют соотношению (5.8)
(«сферическая поверхность»). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения ; а тогда, по теореме
Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение , необходимо положительное (как и все ее значения в М).

С другой стороны, ввиду (5.3) вторая сумма в (5.7) для достаточно малых ,очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке (x10,x20,…,xn0) разность будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция f(x1,x2,…,xn) имеет собственный минимум.

Аналогично исчерпывается и случай, когда форма (5.6) будет определенной, но отрицательной.

Для того, чтобы квадратичная форма (5.6) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы a11 a12 a11 a12 a13 a11 a12… a1n a11