Ѕаза курсовых работ, рефератов, научных работ! Otryvnoy.ru –ефераты, курсовые, дипломные работы

Ёлементарные конфортные отображени€

Ёлементарные конфортные отображени€

Ёлементарные конфортные отображени€ ЁЋ≈ћ≈Ќ“ј–Ќџ≈ ‘”Ќ ÷»»  ќћѕЋ≈ —Ќќ… ѕ≈–≈ћ≈ЌЌќ…

 ратка€ справка. ѕусть имеютс€ два множества комплексных точек  Ёлементарные конфортные отображени€и  Ёлементарные конфортные отображени€. ≈сли задан закон  Ёлементарные конфортные отображени€, став€щий в соответствие каждому  Ёлементарные конфортные отображени€ точку (или точки)  Ёлементарные конфортные отображени€, то говор€т, что на множестве  Ёлементарные конфортные отображени€задана функци€ комплексной переменной со значени€ми в множестве  Ёлементарные конфортные отображени€. ќбозначают это следующим образом:  Ёлементарные конфортные отображени€. („асто говор€т также, что  Ёлементарные конфортные отображени€отображает множество  Ёлементарные конфортные отображени€в множество  Ёлементарные конфортные отображени€.)

«адание функции  Ёлементарные конфортные отображени€ эквивалентно заданию двух действительных функций  Ёлементарные конфортные отображени€ и тогда  Ёлементарные конфортные отображени€ , где  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€.  ак и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. –ассмотрим некоторые из них.

1.  Ёлементарные конфортные отображени€  Ёлементарные конфортные отображени€ - линейна€ функци€. ќпределена при всех  Ёлементарные конфортные отображени€. ќтображает полную комплексную плоскость  Ёлементарные конфортные отображени€на полную комплексную плоскость  Ёлементарные конфортные отображени€ . ‘ункци€  Ёлементарные конфортные отображени€и обратна€ ей  Ёлементарные конфортные отображени€- однозначны. ‘ункци€  Ёлементарные конфортные отображени€поворачивает плоскость  Ёлементарные конфортные отображени€на угол, равный  Ёлементарные конфортные отображени€, раст€гивает (сжимает) ее в  Ёлементарные конфортные отображени€ раз и после этого осуществл€ет параллельный сдвиг на величину  Ёлементарные конфортные отображени€. Ќепрерывна на всей комплексной плоскости.

2.  Ёлементарные конфортные отображени€. ќпределена на всей комплексной плоскости, причем  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€. ќднозначна, непрерывна всюду, за исключением точки  Ёлементарные конфортные отображени€. ќтображает полную комплексную плоскость  Ёлементарные конфортные отображени€на полную комплексную плоскость  Ёлементарные конфортные отображени€, причем точки, лежащие на единичной окружности, переход€т в точки этой же окружности. “очки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переход€т в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3.  Ёлементарные конфортные отображени€ - показательна€ функци€. ѕо определению  Ёлементарные конфортные отображени€, т.е.  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€. »з определени€ вытекают формулы Ёйлера:

 Ёлементарные конфортные отображени€ ;

 Ёлементарные конфортные отображени€;

 Ёлементарные конфортные отображени€;

ќпределена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.  Ёлементарные конфортные отображени€периодична с периодом  Ёлементарные конфортные отображени€. ќтображает каждую полосу, параллельную оси  Ёлементарные конфортные отображени€, шириной  Ёлементарные конфортные отображени€  Ёлементарные конфортные отображени€в плоскости  Ёлементарные конфортные отображени€в полную комплексную плоскость  Ёлементарные конфортные отображени€. »з свойств  Ёлементарные конфортные отображени€отметим простейшие:  Ёлементарные конфортные отображени€ ,  Ёлементарные конфортные отображени€

4.  Ёлементарные конфортные отображени€- логарифмическа€ функци€ (натуральный логарифм). ѕо определению:  Ёлементарные конфортные отображени€.  Ёлементарные конфортные отображен般ыражение  Ёлементарные конфортные отображени€ называетс€ главным значением  Ёлементарные конфортные отображени€, так что  Ёлементарные конфортные отображени€. ќпределен дл€ всех комплексных чисел, кроме  Ёлементарные конфортные отображени€.  Ёлементарные конфортные отображени€ - бесконечно-значна€ функци€, обратна€ к  Ёлементарные конфортные отображени€.  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

5.  Ёлементарные конфортные отображени€  Ёлементарные конфортные отображени€- обща€ показательна€ функци€. ѕо определению,  Ёлементарные конфортные отображени€. ќпределена дл€ всех  Ёлементарные конфортные отображени€, ее главное значение  Ёлементарные конфортные отображени€, бесконечно-значна.

6. “ригонометрические функции  Ёлементарные конфортные отображени€; Ёлементарные конфортные отображени€; Ёлементарные конфортные отображени€; Ёлементарные конфортные отображени€ ѕо определению,  Ёлементарные конфортные отображени€;  Ёлементарные конфортные отображени€;

 Ёлементарные конфортные отображени€ ;  Ёлементарные конфортные отображени€

7. √иперболические функции. ќпредел€ютс€ по аналогии с такими же функци€ми действительной переменной, а именно:

 Ёлементарные конфортные отображени€ ,  Ёлементарные конфортные отображени€

ќпределены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

«адачи с решением.

1) Ќайти модули и главные значени€ аргументов комплексных чисел:  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,

–ешение. ѕо определению,  Ёлементарные конфортные отображени€, Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€; если  Ёлементарные конфортные отображени€, то очевидно,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

Ќайти суммы:

1)  Ёлементарные конфортные отображени€

2) sinx+sin2x+...+sinnx

–ешение. ѕусть:  Ёлементарные конфортные отображени€, а

 Ёлементарные конфортные отображени€.

”множим вторую строчку на  Ёлементарные конфортные отображени€, сложим с первой и, воспользовавшись формулой Ёйлера, получим:

 Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€;

ѕреобразу€, получим:

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

3. ƒоказать, что: 1)  Ёлементарные конфортные отображени€ 2) Ёлементарные конфортные отображени€

3) Ёлементарные конфортные отображени€ 4) Ёлементарные конфортные отображени€

ƒоказательство:

1) ѕо определению,  Ёлементарные конфортные отображени€

2)  Ёлементарные конфортные отображени€

3)  Ёлементарные конфортные отображени€ ;  Ёлементарные конфортные отображени€

¬ыразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1)  Ёлементарные конфортные отображени€; 2)  Ёлементарные конфортные отображени€; 3)  Ёлементарные конфортные отображени€;

–ешение:  Ёлементарные конфортные отображени€ и, учитыва€ результаты предыдущего примера, получим:

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,

 Ёлементарные конфортные отображени€

Ќапомним, что  Ёлементарные конфортные отображени€

2)  Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,

 Ёлементарные конфортные отображени€

3)  Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€ ,  Ёлементарные конфортные отображени€ ,

 Ёлементарные конфортные отображени€ ,  Ёлементарные конфортные отображени€ .

Ќайти действительные и мнимые части следующих значений функций:  Ёлементарные конфортные отображени€ ;  Ёлементарные конфортные отображени€ ;  Ёлементарные конфортные отображени€

–ешение. —леду€ решению примера 4, будем иметь:

 Ёлементарные конфортные отображени€ ;  Ёлементарные конфортные отображени€ ;  Ёлементарные конфортные отображени€ ;  Ёлементарные конфортные отображени€;

 Ёлементарные конфортные отображени€ ;  Ёлементарные конфортные отображени€

¬ычислить: 1)  Ёлементарные конфортные отображени€; 3)  Ёлементарные конфортные отображени€ ; 5)  Ёлементарные конфортные отображени€;

 Ёлементарные конфортные отображени€; 4)  Ёлементарные конфортные отображени€ ; 6)  Ёлементарные конфортные отображени€ ;

–ешение. ѕо определению,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

1) Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,

 Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

4) Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,

 Ёлементарные конфортные отображени€

5) Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,

 Ёлементарные конфортные отображени€

6) Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

Ќайти все значени€ следующих степеней:

1)  Ёлементарные конфортные отображени€; 2)  Ёлементарные конфортные отображени€ ; 3) Ёлементарные конфортные отображени€ ; 4) Ёлементарные конфортные отображени€;

–ешение. ¬ыражение  Ёлементарные конфортные отображени€ дл€ любых комплексных a и  Ёлементарные конфортные отображени€определ€ютс€ формулой  Ёлементарные конфортные отображени€

1)  Ёлементарные конфортные отображени€

2) Ёлементарные конфортные отображени€

3)  Ёлементарные конфортные отображени€

4)  Ёлементарные конфортные отображени€.

8. ƒоказать следующие равенства:

1)  Ёлементарные конфортные отображени€;

2)  Ёлементарные конфортные отображени€;

3)  Ёлементарные конфортные отображени€

ƒоказательство:

1)  Ёлементарные конфортные отображени€, если  Ёлементарные конфортные отображени€, или  Ёлементарные конфортные отображени€ , откуда  Ёлементарные конфортные отображени€, или  Ёлементарные конфортные отображени€.

–ешив это уравнение, получим  Ёлементарные конфортные отображени€, т.е.  Ёлементарные конфортные отображени€ и  Ёлементарные конфортные отображени€

 Ёлементарные конфортные отображени€, если  Ёлементарные конфортные отображени€, откуда  Ёлементарные конфортные отображени€, или  Ёлементарные конфортные отображени€ , следовательно,

 Ёлементарные конфортные отображени€,  Ёлементарные конфортные отображени€

3)  Ёлементарные конфортные отображени€, если  Ёлементарные конфортные отображени€, откуда  Ёлементарные конфортные отображени€, или

 Ёлементарные конфортные отображени€.

ќтсюда  Ёлементарные конфортные отображени€, следовательно,  Ёлементарные конфортные отображени€




Ќаш опрос
 ак ¬ы оцениваете работу нашего сайта?
ќтлично
Ќе помог
–еклама
 
ћнение авторов может не совпадать с мнением редакции сайта
ѕерепечатка материалов без ссылки на наш сайт запрещена