Исследование регрессии на основе численных данных

Исследование регрессии на основе численных данных

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

Новгородский    Государственный      университет

Имени   Ярослава Мудрого.

Кафедра   «Прикладная математика  и  информатика».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по дисциплине

«Математическая статистика»

на тему:

“Исследование регрессии на основе численных данных”

 

 

 

 

 

 

         Преподаватель:

Токмачев М.С.

Студент  группы  № 3311  

Jannat

 

 

 

 

 

 

Новгород  Великий

2005

ПЛАН

Теоретическая часть

1. Понятие регрессии

2. Постоянная и случайная составляющие случайной переменой

3. Модель парной линейной регрессии

4. Регрессия по методу наименьших квадратов

5. Качество оценки: коэффициент R²

6. Точность коэффициентов регрессии

7. Доверительные интервалы

8. F-статистика

Практическая часть

I. Исследование регрессии при выборке из генеральной совокупности N(0;1)                          

II. Исследование регрессии при выборке из генеральной совокупности N(0;0,5)

III. Исследование регрессии при выборке из генеральной совокупности N(0;2)

Заключение

 

Теоретическая часть

1. Понятие регрессии

Условное математическое ожидание M(Y|X=x) случайной переменной Y, рассматриваемое как функция x, т.е. M(Y|X=x)=f(x), называется функцией регрессии случайной переменной Y относительно X (или функцией регрессии Y по X). Точно также условное математическое ожидание M(X|Y=y), случайной переменной X, т.е. M(X|Y=y)=f(x), называется функцией регрессии случайной переменной X относительно Y (или функцией регрессии X по Y).

Функции регрессии выражают математическое ожидание переменной Y (или X) для случая, когда другая переменная принимает определённое числовое значение, или, иначе говоря, функция M(Y|X=x) показывает, каково будет в среднем значение случайной переменной Y, если переменная X принимает значение x. Всё сказанное справедливо и для функции M(X|Y=y).

Становится очевидным, что функция регрессии имеет важное значение при статистическом анализе зависимостей между переменными и может быть использована для прогнозирования одной из случайных переменных, если известно значение другой случайной переменной. Точность такого прогноза определяется дисперсией условного распределения.

Несмотря на важность понятия функции регрессии, возможности её практического применения весьма ограничены. Для оценки функции регрессии необходимо знать аналитический вид двумерного распределения (X,Y). Только зная вид этого распределения, можно точно определить вид функции регрессии, а затем оценить его параметры. Однако для подобной оценки мы чаще всего располагаем лишь выборкой ограниченного объёма, по которой нужно найти вид двумерного распределения (X,Y), а затем вид функции регрессии. Это может привести к значительным ошибкам, т.к. одну и ту же совокупность точек (xi,yi) на плоскости можно одинаково успешно описать с помощью различных функций.

Для характеристики формы связи при изучении корреляционной зависимости пользуются понятием кривой регрессии. Кривой регрессии Y по X (или Y по X) называется условное среднее значение случайной переменной Y (Х), рассматриваемой как функция от x (у). Эта функция обладает одним замечательным свойством: она даёт наименьшую среднюю погрешность оценки прогноза.

2. Постоянная и случайная составляющие случайной переменой

Часто вместо рассмотрения случайной величины как единого целого можно и удобно разбить ее на постоянную и чисто случайную составляющие, где постоянная составляющая всегда есть ее математическое ожидание. Если x случайная переменная и m - ее математическое ожидание, то декомпозиция случайной величины записывается следующим образом:

x= m+u,

где u чисто случайная составляющая (в регрессионном анализе она обычно представлена случайным членом)

3. Модель парной линейной регрессии

Коэффициент корреляции показывает, что две переменные связаны друг с другом, однако не дает представления о том, каким образом они связаны.

Рассмотрим простейшую модель: y=a+bx+u

Величина y  рассматривается как зависимая переменная, состоящая из:

1.      неслучайной составляющей a+bx, где x выступает как объясняющая (или независимая) переменная, а постоянные величины a и b - как параметры уравнения

2.      случайного члена u

На графиках подбора в проделанной работе мы видим Y предсказанное (■) и Y полученное.  На них показано, как комбинация этих двух составляющих определяет величину Y. Показатели Xi –  это гипотетические значения объясняющей переменной. Если бы соотношение между Y и X было точным, то соответствующие значения Y были бы представлены Y предсказанное (■). Наличие случайного члена приводит к тому, что в действительности значение Y получается другим.

Задача регрессионного анализа состоит в получении оценок a и b и, следовательно, в определении положения прямой по точкам.

Очевидно, что чем меньше значения u, тем легче эта задача. Действительно, если бы случайный член отсутствовал вовсе, то точки Y совпадали бы с точками Y предсказанное и точно бы показали положение прямой. В этом случаю было бы достаточно просто построить эту прямую  и определить значения a и b.

  Почему существует случайный член:

1.      Невключение объясняющих переменных. Соотношение между X и Y почти всегда является очень большим упрощением. В действительности существуют другие факторы влияющие на Y, которые не учтены в формуле y=a+bx+u. Влияние факторов приводит к тому, что наблюдаемые точки лежат вне прямой. Часто происходит так, что имеются переменные, которые мы хотели бы включить в регрессионное уравнение, но не можем этого сделать потому, что не знаем, как их измерить, например психологические факторы. Возможно, что существуют также другие факторы, которые мы можем измерить, но которые оказывают такое слабое влияние, что их не стоит учитывать. Кроме того, могут быть факторы, которые являются существенными, но которые мы из-за отсутствия опыта таковыми не считаем. Объединив все эти составляющие, мы получаем то, что обозначено как u.

2.      Агрегирование переменных . во многих случаях рассматриваемая зависимость – это попытка объединить вместе некоторое число соотношений. Так как отдельные соотношения, вероятно, имеют разные параметры, любая попытка определить соотношение между ними является лишь аппроксимацией. Наблюдаемое расхождение при этом приписывается наличию случайного члена.

3.      Неправильное описание структуры модели. Структура модели может быть описана неправильно или не вполне правильно. Иногда может показаться, что существует зависимость между Y и X, но это будет лишь аппроксимация, и расхождение вновь будет связано с наличием случайного члена.

4.      Неправильная функциональная спецификация. Функциональное соотношение между Y и X математически может быть определено неправильно. Например, истинная зависимость может не являться линейной, а быть более сложной. Безусловно, надо постараться избежать возникновения этой проблемы, используя подходящую математическую формулу, но любая самая изощренная формула является лишь приближением, и существующее расхождение вносит вклад в остаточный член.

5.      Ошибки измерения. Если в измерении одной или более взаимосвязанных переменных имеются ошибки, то наблюдаемые значения не будут соответствовать точному соотношению, и существующее расхождение будет вносить вклад в остаточный член.

Остаточный член является суммарным проявлением всех этих факторов. Очевидно, что если бы вас интересовало только измерение влияния X на Y, то было бы значительно удобнее, если бы остаточного члена не было. Если бы он отсутствовал, мы бы знали, что любое изменение Y от наблюдения к наблюдению вызвано изменением X, и смогли бы точно вычислить b. Однако в действительности каждое изменение Y отчасти вызвано изменением u, и это значительно усложняет жизнь.

5. Регрессия по методу наименьших квадратов

Пусть мы имеем наблюдения X и Y, то перед нами стоит задача – определить значения a и b. В качестве грубой аппроксимации можно это сделать на глаз, построив прямую, в наибольшей степени соответствующую этим точкам. Отрезок, отсекаемый прямой на оси OY, представляет собой оценку a, а угловой коэффициент прямой представляет собой оценку b.

Необходимо признать, что мы никогда не сможем рассчитать истинные значения a и b при попытке построить прямую и определить положение линии регрессии. Мы можем получить только оценки, и они могут быть хорошими или плохими. Иногда оценки могут быть абсолютно точными, но это возможно лишь в результате случайного совпадения, и даже в том случае не будет способа узнать, что оценки абсолютно точны.

Первым шагом является определение остатка для каждого наблюдения. Разность между фактическим и расчетным значениями, то есть Y и Y предсказанное, описывается как остаток. Обозначим остаток какого-то наблюдения за ei.

Стандартный же остаток (отклонение)- мера разброса для распределения вероятностей, это квадратный корень из дисперсии.

Очевидно, что мы хотим построить линию регрессии таким образом, чтобы эти остатки были минимальными. Необходимо выбрать какой-то критерий подбора, который будет одновременно учитывать величину всех остатков. Один из способов решения поставленной проблемы состоит в минимизации суммы квадратов остатков

S=åei ²

В соответствии с этим критерием, чем меньше S, тем строже соответствие.

Существуют и другие достаточно разумные решения, однако при выполнении определенных условий метод наименьших квадратов дает несмещенные и эффективные оценки a и b.

6. Качество оценки: коэффициент R²

Цель регрессионного анализа состоит в объяснении поведения зависимой переменной Y. Мы пытаемся сделать это путем определения регрессионной зависимости Y от соответственно выбранной независимой переменной X. Но мы не можем с помощью уравнения регрессии объяснить расхождение между фактическим и расчетным значениями Y. Коэффициент детерминации  R² - та часть дисперсии Y, которая объяснена уравнением регрессии.

R²=D(Y расчетное)

D(Y)

Максимальное значение коэффициента R² равно единице. Это происходит в том случае, когда линия регрессии точно соответствует всем наблюдениям, так что Y=Yрасчетному для всех наблюдений и все остатки равны нулю.

Если в выборке отсутствует видимая связь между X и Y, то R² будет близок к нулю. При прочих равных условиях желательно, чтоб коэффициент R² был как можно больше.

7. Точность коэффициентов регрессии

Увеличивая u, мы увеличиваем его стандартное отклонение, следовательно, увеличиваем стандартные отклонения a и b. Чем больше число наблюдений, тем меньше дисперсии оценок. Чем большей информацией мы располагаем, тем более точными будут наши оценки. Чем больше дисперсия X, тем меньше будут дисперсия коэффициентов регрессии.

Коэффициенты регрессии вычисляются на основании предположения, что наблюдаемые изменения Y происходят вследствие изменений Х, но в действительности они лишь отчасти вызваны изменением Х, а отчасти вариациями u. Чем меньше дисперсия Х, тем больше, вероятно, будет относительное влияние фактора случайности при определении отклонений Y и тем более вероятно, что регрессионный анализ может оказаться неверным. Важные значения имеют дисперсия случайного члена и дисперсия Х.

Дисперсия случайного члена нам неизвестна, но мы можем получить ее оценку на основе остатков. Разброс остатков относительно линии регрессии будет отражать неизвестный разброс u относительно линии y=a+bx, хотя в общем остаток и случайный член в любом данном наблюдении не равны друг другу. Следовательно, выборочная дисперсия остатков, которую мы можем измерить, сможет быть использована для оценки дисперсии случайного члена, которую мы получить не можем.

Рассматривая теоретические дисперсии оценок a и b и оценку случайного члена, можно получить оценки теоретических дисперсий для a и b и после извлеченного квадратного корня – оценки их стандартных отклонений. Вместо термина «оценка стандартного отклонения функции плотности вероятности» коэффициента регрессии будем использовать термин «стандартная ошибка» коэффициента регрессии.

Стандартная ошибка дает только общую оценку степени точности коэффициентов регрессии. Она позволяет получить некоторое представление о кривой функции плотности вероятности. Однако она не несет информации о том, находится ли полученная оценка в середине распределения и, следовательно, является точной или в «хвосте» распределения и, таким образом, относительно неточна.

Чем больше дисперсия случайного члена, тем, очевидно, больше будет выборочная дисперсия остатков и, следовательно, существеннее стандартные ошибки коэффициентов в уравнении регрессии, что позволяет с высокой вероятностью заключить, что полученные коэффициенты неточны. Однако это всего лишь вероятность. Возможно, что в какой-то конкретной выборке воздействия случайного фактора в различных наблюдениях будут взаимно погашены и в конечном итоге коэффициенты регрессии будут точны. Проблема состоит в том, что, вообще говоря, нельзя утверждать, произойдет это или нет.

8. Доверительные интервалы

Вопрос стоит в том, насколько сильно гипотетическое значение может отличаться от результата эксперимента, прежде чем они станут несовместимыми. Гипотетическое значение β является совместимым с результатом оценивания регрессии (b), если оно удовлетворяет двойному неравенству:

b-с.о.(b)*tкрит < β < b+с.о.(b)* tкрит

Любое гипотетическое значение β, которое удовлетворяет этому соотношению, будет автоматически совместимо с оценкой b, иными словами, не будет опровергаться ею. Множество этих значений, определенных как интервал между нижней и верхней границами неравенства, известно как доверительный интервал для величины β.

9. F-статистика

F-статистика используется для проверки качества оценивания регрессии и записывается как отношение объясненной суммы квадратов (в расчете на одну независимую переменную к остаточной сумме квадратов) в расчете на одну степень свободы

SS – сумма квадратов отклонений (с.к.о.)

Df – число степеней свободы (с.с.)

MS – с.к.о. деленная на с.с.

F-статистика – MS регрессии деленная на MS остатка

Задание

Необходимо исследовать регрессию на основе численных данных. Задана истинная зависимость:  y=a+bx, x∈[a,b]

Вариант №10

y=4+3x, x∈[5,20]

Практическая часть

I.

Задана истинная зависимость  y = 3*x + 4, x принадлежит промежутку [5;20].

  1. На промежутке [5;20] выберем 30 значений, равноудаленных от соседних, таким образом, составим выборку для X. Вычислим для этой выборки значения Y:

X

Y

5

19

5,40

20,20

5,81

21,44

6,62

23,85

6,77

24,32

6,87

24,61

6,94

24,81

7,02

25,06

8,12

28,35

8,13

28,38

9,44

32,32

9,46

32,39

10,12

34,36

10,42

35,27

10,89

36,67

11,02

37,06

12,19

40,58

12,46

41,38

12,53

41,60

12,63

41,88

13,28

43,83

13,93

45,80

14,62

47,86

14,94

48,82

15,39

50,18

18,08

58,23

18,14

58,42

19,38

62,14

19,50

62,51

19,88

63,64

19,99

63,96

20

64

   2. Используя генератор случайных чисел, находим по 30 значений Ui , Vi.Выборку производим из нормальной генеральной совокупности N(0;1).

Ui

Vi

0,17465

-0,13918

0,608766

2,200486

0,256966

0,415696

-0,40546

-0,77361

-0,50702

1,026156

0,148453

-0,27599

0,69341

1,812241

0,355941

0,428406

-1,70596

0,488922

0,638124

0,200499

-0,79704

0,109958

0,717844

0,516177

0,676484

0,522041

0,481091

-2,68454

-0,66089

0,171234

0,69098

0,560749

-1,05002

-0,11743

-0,77062

-1,04935

1,754124

0,002257

-0,70798

-1,37519

-0,62831

-1,6882

-1,99856

0,206826

-0,05951

0,11504

0,656803

1,57218

-1,15063

-0,32191

0,580555

-0,62645

-0,36795

-0,29376

0,839377

-1,40617

-1,53361

-1,85625

-1,88214

2,009965

 3. Полагая вместо Xi значения X+Ui, а вместо Yi — Y+Vi, получим две зависимые выборки:

Xi

Yi

5,17465

18,86082

6,142534

22,80179

6,686606

23,70461

6,102919

22,75152

6,323632

25,51811

7,310079

25,20889

8,52568

29,30905

8,407487

28,58304

6,451793

28,96217

9,030714

29,37827

7,730137

29,69149

9,914749

32,10689

12,50058

39,99431

12,54094

37,495

11,43878

40,47025

13,51119

43,0214

11,84024

42,55334

12,57741

42,99474

17,06511

49,93521

15,34643

50,78805

15,49843

50,69203

14,13871

52,61864

16,1716

52,80839

17,39148

55,7762

16,84934

57,678

19,04975

58,78113

18,18456

59,36377

19,80434

59,48872

17,69916

59,84204

18,11786

66,00997

4. По полученным значениям находим уравнение линейной регрессии (ExcelàАнализ данныхàРегрессия)

y = 2,959989002*x+ 4,977076691

а также:

коэффициент детерминации R2  0,957421057

доверительные интервалы для коэффициентов

Y:(1,816620984; 8,137532399)

X:(2,718346233; 3,20163177)

стандартные ошибки коэффициентов Y: 1,542882806   X: 0,117966049

F-статистика: 629,6020401

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

20,29398457

-1,433162272

-0,492864465

2

23,15891114

-0,357118898

-0,122813179

3

24,76935672

-1,064742069

-0,366164768

4

23,04164954

-0,290126919

-0,099774639

5

23,69495855

1,82315541

0,626983094

6

26,61483142

-1,40594406

-0,483504123

7

30,21299691

-0,903945143

-0,310866709

8

29,86314499

-1,280101594

-0,440226902

9

24,07431234

4,887859798

1,680934847

10

31,70789177

-2,329622213

-0,801157014

11

27,85819572

1,833292384

0,630469199

12

34,32462506

-2,217731899

-0,762677938

13

41,97864341

-1,984328613

-0,682410554

14

42,09811424

-4,603111173

-1,583009803

15

38,83574651

1,634507824

0,562107195

16

44,97006519

-1,94866985

-0,670147507

17

40,02405468

2,529284508

0,869820871

18

42,20607611

0,788668616

0,271223115

19

55,48960825

-5,554400732

-1,910158256

20

50,40235334

0,385700071

0,132642243

21

50,85227346

-0,160247411

-0,05510908

22

46,82750936

5,791133326

1,991570588

23

52,84484634

-0,036456609

-0,012537427

24

56,45565155

-0,679455491

-0,233664724

25

54,85093911

2,827058233

0,972225247

26

61,36411843

-2,582990043

-0,888290203

27

58,80317324

0,560592623

0,192787787

28

63,59771108

-4,10899113

-1,413081934

29

57,36638532

2,475657295

0,851378474

30

58,60572907

7,404236032

2,546316563

 

 

5. Сравним уравнение полученной регрессии с истинной зависимостью:

y = 3*x + 4    y = 2,959989002*x+ 4,977076691

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,040011. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0,9771.

6. Изменяя только Yi(Yi = Y + Vi) и оставляя неизменными X, получим пару выборок:

X

Yi

5,00

18,86082

5,53

22,80179

6,43

23,70461

6,51

22,75152

6,83

25,51811

7,16

25,20889

7,83

29,30905

8,05

28,58304

8,16

28,96217

8,39

29,37827

8,53

29,69149

9,20

32,10689

11,82

39,99431

12,06

37,495

12,10

40,47025

12,82

43,0214

12,89

42,55334

13,35

42,99474

15,31

49,93521

16,05

50,78805

16,13

50,69203

16,14

52,61864

16,23

52,80839

16,73

55,7762

18,00

57,678

18,47

58,78113

18,55

59,36377

18,96

59,48872

19,23

59,84204

20,00

66,00997

Теперь находим уравнение линейной регрессии:

                                                       y = 2,926758474*x+ 4,90105721

коэффициент детерминации R2: 0,994191219

доверительные интервалы для коэффициентов:

 Y: (3,750717832; 6,051396589)

 X : (2,840155626; 3,013361321)

стандартные ошибки коэффициентов: Y: 0,561576877  X: 0,042278094

F-статистика:   4792,288613.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,53484958

-0,674029578

-0,627575517

2

21,09706173

1,704728266

1,58723854

3

23,71905932

-0,014449322

-0,013453476

4

23,94950571

-1,197985713

-1,115420639

5

24,89272815

0,625381854

0,58228059

6

25,86140687

-0,652516867

-0,60754546

7

27,8242206

1,484829404

1,382495088

8

28,465987

0,117053004

0,108985721

9

28,77682166

0,185348338

0,172574147

10

29,46414142

-0,085871418

-0,079953167

11

29,85804397

-0,166553968

-0,155075083

12

31,81817809

0,288711912

0,268813912

13

39,50731665

0,486993352

0,453429812

14

40,19731601

-2,702316014

-2,516072624

15

40,31387901

0,156370987

0,145593912

16

42,42273144

0,598668557

0,557408371

17

42,62772155

-0,074381545

-0,069255176

18

43,96752614

-0,972786139

-0,905741801

19

49,71260823

0,222601766

0,207260071

20

51,88845089

-1,100400893

-1,024561358

21

52,10014002

-1,408110019

-1,311063197

22

52,13095552

0,487684475

0,454073303

23

52,40561547

0,402774534

0,375015347

24

53,87940052

1,896799481

1,766072223

25

57,58262041

0,095379586

0,088806033

26

58,95592012

-0,174790122

-0,162743602

27

59,19976456

0,164005442

0,152702201

28

60,4069285

-0,918208496

-0,854925645

29

61,19071418

-1,348674183

-1,255723674

30

63,43622668

2,573743318

2,396361149

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным:

y = 3*x + 4     y = 2,926758474*x+ 4,90105721

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,0732. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0,901.

Сравним полученное уравнение с первоначальным уравнением y=a+bx:

y = 2,959989002x+ 4,977076691        y = 2,926758474*x+ 4,90105721

Коэфициент при переменной X отличается от коэффициента в первоначальном уравнении регрессии приблизительно на 0,03323. При этом константа изменяется по сравнению с первоначальным значением в уравнении регрессии примерно на 0,07602.

7. Полагая вместо Vi значение 0,5Vi;1,5Vi и так далее получим новые пары выборок и вновь вычислим уравнение линейной регрессии.

Vi=0,5Vi:

Ui

Vi=0,5Vi

0,17

-0,07

0,61

1,10

0,26

0,21

-0,41

-0,39

-0,51

0,51

0,15

-0,14

0,69

0,91

0,36

0,21

-1,71

0,24

0,64

0,10

-0,80

0,05

0,72

0,26

0,68

0,26

0,48

-1,34

-0,66

0,09

0,69

0,28

-1,05

-0,06

-0,77

-0,52

1,75

0,00

-0,71

-0,69

-0,63

-0,84

-2,00

0,10

-0,06

0,06

0,66

0,79

-1,15

-0,16

0,58

-0,31

-0,37

-0,15

0,84

-0,70

-1,53

-0,93

-1,88

1,00

Yi = Y+0,5Vi:

X

Yi=Y+0.5Vi

5

18,93

5,53

21,70

6,43

23,50

6,51

23,14

6,83

25,01

7,16

25,35

7,83

28,40

8,05

28,37

8,16

28,72

8,39

29,28

8,53

29,64

9,20

31,85

11,82

39,73

12,06

38,84

12,10

40,38

12,82

42,74

12,89

42,61

13,35

43,52

15,31

49,93

16,05

51,48

16,13

51,54

16,14

52,52

16,23

52,75

16,73

54,99

18,00

57,84

18,47

59,09

18,55

59,51

18,96

60,19

19,23

60,77

20

65,00

Уравнение регрессии:                y= 2,963379082*x+ 4,450530823

коэффициент детерминации R2: 0,998577228

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (3,875361588; 5,025700059)

X : (2,920077692; 3,006680471).

стандартные ошибки коэффициентов:  Y: 0,280788217 X: 0,02113903

F-статистика: 19651,88866.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,26742623

-0,337015081

-0,627576556

2

20,84918532

0,852363896

1,58723935

3

23,50399025

-0,007223556

-0,013451428

4

23,73732006

-0,598992754

-1,115421329

5

24,69234442

0,312691749

0,58228258

6

25,67314358

-0,326260858

-0,607550454

7

27,66051671

0,742414584

1,38249596

8

28,31031311

0,058527233

0,108987168

9

28,62503705

0,092674288

0,172574504

10

29,32095678

-0,042936843

-0,079955343

11

29,71978798

-0,083278825

-0,155078633

12

31,70444797

0,144356749

0,2688156

13

39,48979567

0,243498692

0,453433925

14

40,18842855

-1,351156818

-2,516072395

15

40,30645002

0,078187321

0,145597429

16

42,44168914

0,299331721

0,557404048

17

42,64924415

-0,037191397

-0,069256393

18

44,00581284

-0,486390854

-0,90573839

19

49,82277938

0,111299801

0,20725822

20

52,02584693

-0,550198466

-1,024558478

21

52,24018478

-0,704056702

-1,311067383

22

52,27138586

0,243843866

0,454076694

23

52,54948244

0,201387433

0,375015952

24

54,041708

0,948398152

1,766070657

25

57,79126385

0,04768904

0,088804702

26

59,18174676

-0,087395219

-0,162744024

27

59,42864226

0,082001316

0,152699706

28

60,65091065

-0,459103548

-0,854925016

29

61,44450333

-0,674335017

-1,255720801

30

63,71811245

1,286870097

2,396360129

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным:

y = 3*x + 4     y= 2,963379082*x+ 4,450530823

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,0366. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0, 4505.

Vi=1,5Vi:

Ui

Vi=1,5Vi

0,17

-0,21

0,61

3,30

0,26

0,62

-0,41

-1,16

-0,51

1,54

0,15

-0,41

0,69

2,72

0,36

0,64

-1,71

0,73

0,64

0,30

-0,80

0,16

0,72

0,77

0,68

0,78

0,48

-4,03

-0,66

0,26

0,69

0,84

-1,05

-0,18

-0,77

-1,57

1,75

0,00

-0,71

-2,06

-0,63

-2,53

-2,00

0,31

-0,06

0,17

0,66

2,36

-1,15

-0,48

0,58

-0,94

-0,37

-0,44

0,84

-2,11

-1,53

-2,78

-1,88

3,01

Yi = Y+1,5Vi:

X

Yi=Y+1,5Vi

5

18,79

5,53

23,90

6,43

23,91

6,51

22,36

6,83

26,03

7,16

25,07

7,83

30,22

8,05

28,80

8,16

29,21

8,39

29,48

8,53

29,75

9,20

32,36

11,82

40,26

12,06

36,15

12,10

40,56

12,82

43,30

12,89

42,49

13,35

42,47

15,31

49,94

16,05

50,10

16,13

49,85

16,14

52,72

16,23

52,87

16,73

56,56

18,00

57,52

18,47

58,47

18,55

59,22

18,96

58,79

19,23

58,91

20

67,01

Уравнение регрессии                   y= 2,890137245*x+ 5,35159247

коэффициент детерминации R2: 0,986697969

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (3,626084764; 7,077100176)

X : (2,760233076; 3,020041413).

стандартные ошибки коэффициентов:  Y: 0,842364652 X: 0,063417091

F-статистика: 2076,941658.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,80227869

-1,011045244

-0,627576556

2

21,34494358

2,557091687

1,58723935

3

23,93413328

-0,021670667

-0,013451428

4

24,1616962

-1,796978261

-1,115421329

5

25,09311651

0,938075248

0,58228258

6

26,04967458

-0,978782574

-0,607550454

7

27,98792849

2,227243752

1,38249596

8

28,62166475

0,175581699

0,108987168

9

28,92861008

0,278022864

0,172574504

10

29,60732971

-0,12881053

-0,079955343

11

29,99630354

-0,249836474

-0,155078633

12

31,93191137

0,433070246

0,2688156

13

39,52483915

0,730496077

0,453433925

14

40,20620486

-4,053470453

-2,516072395

15

40,32130936

0,234561962

0,145597429

16

42,40377466

0,897995163

0,557404048

17

42,60619981

-0,111574191

-0,069256393

18

43,92924002

-1,459172561

-0,90573839

19

49,60243646

0,333899403

0,20725822

20

51,75105376

-1,650595399

-1,024558478

21

51,96009412

-2,112170106

-1,311067383

22

51,99052404

0,731531599

0,454076694

23

52,26174729

0,604162298

0,375015952

24

53,71709152

2,845194455

1,766070657

25

57,37397467

0,143067121

0,088804702

26

58,73009089

-0,262185657

-0,162744024

27

58,97088421

0,246003949

0,152699706

28

60,16294344

-1,377310645

-0,854925016

29

60,93692196

-2,023005051

-1,255720801

30

63,15433736

3,86061029

2,396360129

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным:

y = 3*x + 4     y= 2,890137245*x+ 5,35159247

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,1099. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 1,3516.

II.

1. Используя генератор случайных чисел, находим по 30 значений Ui , Vi.Выборку производим из генеральной совокупности N(0;0,5).

Ui

Vi

-0,33978

-0,62199

-0,52754

0,214371

0,561159

0,842674

-0,21023

-0,19153

0,55333

-0,12142

-0,07485

0,748012

0,536907

0,02968

0,428237

1,299704

1,147537

-1,0117

-1,22736

0,118428

0,457453

0,003653

0,031557

0,213658

-0,34181

0,270182

-0,3208

0,658724

-0,63071

-0,56332

-0,49658

-0,59886

-0,97769

-0,28392

-0,06608

0,134859

-0,3185

-0,96067

0,230928

-0,01689

-0,86298

0,443846

-0,86812

0,141694

-0,01716

0,289101

-0,47807

0,589177

0,03681

-0,04456

-0,22203

-0,06998

-0,0324

1,050125

-0,16564

-0,09764

-0,26828

1,051867

-0,20672

-0,92324

2. Затем, полагая вместо Xi значения X+Ui, а вместо Yi — Y+Vi, получим две зависимые выборки и найдем по полученным значениям уравнение линейной регрессии.

Xi

Yi

4,660218

18,37801

5,006231

20,81568

6,990799

24,13159

6,29815

23,33361

7,383983

24,37054

7,08678

26,23289

8,369177

27,52649

8,479782

29,45434

9,305287

27,46155

7,165227

29,2962

8,98463

29,58518

9,228463

31,80437

11,48228

39,74246

11,73905

40,83826

11,46897

39,7357

12,32363

41,86179

11,91257

42,38685

13,28196

44,17896

14,99248

48,97228

16,28534

52,14635

15,26376

52,82408

15,26916

52,55351

16,21396

52,98245

16,2566

54,79319

18,03678

57,95535

18,24716

59,3376

18,52011

60,70765

18,79933

60,79726

18,96448

62,75016

19,79328

63,07676

y= 3,057386713*x+ 3,849828606

коэффициент детерминации R2: 0,987296367

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (2,091385142; 5,608272069)

X : (2,923132377; 3,191641049).

стандартные ошибки коэффициентов:  Y: 0,85844335  X: 0,065540772

F-статистика: 2176,094.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

18,09791688

0,280093338

0,172302263

2

19,15581308

1,659863858

1,021082118

3

25,22340441

-1,091811555

-0,671638972

4

23,10570844

0,227897612

0,140193532

5

26,42551873

-2,054980175

-1,264141935

6

25,51685652

0,716033201

0,440475099

7

29,43763863

-1,911148164

-1,175662212

8

29,77580289

-0,321461291

-0,19775018

9

32,29968921

-4,838142402

-2,976232458

10

25,75669845

3,539499448

2,17735905

11

31,31931647

-1,734133513

-1,066769851

12

32,06480759

-0,260432822

-0,160207897

13

38,95560729

0,786848535

0,484037871

14

39,74063661

1,097628052

0,675217049

15

38,91489336

0,820807581

0,504928123

16

41,52793536

0,333849687

0,205371027

17

40,27115213

2,115696656

1,301492295

18

44,45790793

-0,27894995

-0,171598896

19

49,68764901

-0,715365598

-0,440064416

20

53,64041694

-1,494063885

-0,91908858

21

50,51704631

2,307029716

1,419192771

22

50,53354027

2,019970659

1,242605475

23

53,42216985

-0,439718748

-0,270497456

24

53,55254369

1,240650031

0,763198473

25

58,99523708

-1,039890467

-0,639699187

26

59,63846367

-0,30086436

-0,185079768

27

60,47295567

0,234690934

0,144372513

28

61,32664816

-0,529390439

-0,325659907

29

61,83159061

0,918570407

0,565067919

30

64,36553236

-1,288776345

-0,792803864

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным :

y = 3*x + 4   y= 3,057386713*x+ 3,849828606

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,0574 При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0,8498.

 

3. Изменяя только Yi(Yi = Y + Vi) и оставляя неизменными X, получим пару выборок, снова найдем уравнение линейной регрессии.

X

Yi

5,00

18,37801

5,53

20,81568

6,43

24,13159

6,51

23,33361

6,83

24,37054

7,16

26,23289

7,83

27,52649

8,05

29,45434

8,16

27,46155

8,39

29,2962

8,53

29,58518

9,20

31,80437

11,82

39,74246

12,06

40,83826

12,10

39,7357

12,82

41,86179

12,89

42,38685

13,35

44,17896

15,31

48,97228

16,05

52,14635

16,13

52,82408

16,14

52,55351

16,23

52,98245

16,73

54,79319

18,00

57,95535

18,47

59,3376

18,55

60,70765

18,96

60,79726

19,23

62,75016

20,00

63,07676

y= 3,00165434*x+4,06592825

коэффициент детерминации R2: 0,998303894

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (3,429737572; 4,702118928)

X : (2,953758975; 3,049549705).

стандартные ошибки коэффициентов: Y: 0,310577888 X: 0,023381734

F-статистика: 16480,40672.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,07419995

-0,69618995

-1,172069792

2

20,67638918

0,139290823

0,234502905

3

23,36548379

0,766106211

1,289777233

4

23,60182731

-0,268217311

-0,451556947

5

24,56918684

-0,198646845

-0,334431667

6

25,56265409

0,670235907

1,128374893

7

27,5756963

-0,049206303

-0,082841216

8

28,23388553

1,220454469

2,054694721

9

28,55267447

-1,091124469

-1,836961348

10

29,25758276

0,038617235

0,065014002

11

29,6615653

-0,076385297

-0,12859838

12

31,67185933

0,132510672

0,223088191

13

39,55776325

0,184696749

0,310946

14

40,26541973

0,572840272

0,964404583

15

40,38496558

-0,649265579

-1,093070321

16

42,54778363

-0,685993627

-1,154903784

17

42,75801943

-0,371169434

-0,624881876

18

44,13210968

0,046850319

0,078874801

19

50,02420866

-1,051928657

-1,770973284

20

52,25573122

-0,109381217

-0,184148622

21

52,47283748

0,351242524

0,591333949

22

52,50444155

0,049068449

0,082609131

23

52,78613005

0,196319948

0,330514224

24

54,29762932

0,495560677

0,83430061

25

58,09561476

-0,140264763

-0,236142581

26

59,50405727

-0,166457266

-0,280238939

27

59,75414169

0,953508309

1,605277821

28

60,992197

-0,194937002

-0,328185967

29

61,7960398

0,954120203

1,606307974

30

64,09901505

-1,022255049

-1,721016316

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным :

y = 3*x + 4     y= 3,00165434*x+4,06592825

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,0659. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0,0659.

4.Полагая вместо Vi значения 0,5Vi; 1,5Vi и так далее, получим новые пары выборок и вновь вычислим уравнение линейной регрессии.

 Vi=0,5Vi:

Ui

0,5Vi

-0,33978

-0,31099

-0,52754

0,107185

0,561159

0,421337

-0,21023

-0,09576

0,55333

-0,06071

-0,07485

0,374006

0,536907

0,01484

0,428237

0,649852

1,147537

-0,50585

-1,22736

0,059214

0,457453

0,001826

0,031557

0,106829

-0,34181

0,135091

-0,3208

0,329362

-0,63071

-0,28166

-0,49658

-0,29943

-0,97769

-0,14196

-0,06608

0,067429

-0,3185

-0,48033

0,230928

-0,00845

-0,86298

0,221923

-0,86812

0,070847

-0,01716

0,144551

-0,47807

0,294589

0,03681

-0,02228

-0,22203

-0,03499

-0,0324

0,525063

-0,16564

-0,04882

-0,26828

0,525934

-0,20672

-0,46162

Yi = Y+0,5Vi

Xi

Yi=Y+0,5Vi

5,00

18,689005

5,53

20,708492

6,43

23,710256

6,51

23,429369

6,83

24,431248

7,16

25,858884

7,83

27,511651

8,05

28,804489

8,16

27,967399

8,39

29,236984

8,53

29,583357

9,20

31,697546

11,82

39,607365

12,06

40,508903

12,10

40,017361

12,82

42,161216

12,89

42,528808

13,35

44,111529

15,31

49,452617

16,05

52,154798

16,13

52,602153

16,14

52,482664

16,23

52,837901

16,73

54,498605

18,00

57,977628

18,47

59,372587

18,55

60,182584

18,96

60,846076

19,23

62,224228

20,00

63,538378

Уравнение регрессии:                y= 3,000827144*x+ 4,032964241

коэффициент детерминации R2: 0,999575198

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (3,714868492; 4,35105999)

X : (2,976879431; 3,024774857).

стандартные ошибки коэффициентов:  Y: 0,155289144         X: 0,011690882

F-статистика: 65885,12884.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,03709996

-0,348094853

-1,172067872

2

20,63884766

0,069643907

0,234497538

3

23,32720121

0,383054584

1,289780551

4

23,5634796

-0,134110577

-0,451562835

5

24,53057255

-0,099324083

-0,334433461

6

25,52376602

0,335117885

1,128373208

7

27,53625347

-0,024602829

-0,082840023

8

28,19426132

0,610228125

2,054695076

9

28,5129624

-0,545563733

-1,83696403

10

29,21767644

0,019307668

0,06501072

11

29,62154764

-0,038191065

-0,128592882

12

31,63128768

0,066257842

0,223096339

13

39,5150184

0,092346476

0,310939206

14

40,22247986

0,286422667

0,964411862

15

40,34199277

-0,324632122

-1,093066666

16

42,50421479

-0,342999072

-1,154909902

17

42,71439266

-0,185585103

-0,624882371

18

44,08810423

0,023424382

0,078872082

19

49,97857946

-0,52596234

-1,770964307

20

52,20948706

-0,05468878

-0,18414223

21

52,42653349

0,17561958

0,591327524

22

52,45812886

0,02453499

0,082611604

23

52,73973973

0,098160829

0,330516676

24

54,25082246

0,24778252

0,83430688

25

58,04776125

-0,070133723

-0,236146792

26

59,45581562

-0,083228615

-0,280238517

27

59,70583112

0,476752824

1,605271274

28

60,94354525

-0,097469263

-0,328188108

29

61,74716652

0,477060994

1,606308911

30

64,04950712

-0,511129115

-1,721019454

 

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным:

y = 3*x + 4     y= 3,000827144*x+ 4,032964241

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,000827. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0,03296.

 

 

Vi=1,5Vi:

Ui

1,5Vi

-0,33978

-0,93298

-0,52754

0,321556

0,561159

1,264011

-0,21023

-0,28729

0,55333

-0,18213

-0,07485

1,122017

0,536907

0,044519

0,428237

1,949556

1,147537

-1,51756

-1,22736

0,177641

0,457453

0,005479

0,031557

0,320488

-0,34181

0,405273

-0,3208

0,988086

-0,63071

-0,84498

-0,49658

-0,89829

-0,97769

-0,42588

-0,06608

0,202288

-0,3185

-1,441

0,230928

-0,02534

-0,86298

0,665769

-0,86812

0,212541

-0,01716

0,433652

-0,47807

0,883766

0,03681

-0,06684

-0,22203

-0,10496

-0,0324

1,575188

-0,16564

-0,14645

-0,26828

1,577801

-0,20672

-1,38487

Yi=Y+1,5Vi

Xi

Yi=Y+1,5Vi

5,00

18,0670153

5,53

20,9228623

6,43

24,5529299

6,51

23,2378431

6,83

24,3098286

7,16

26,6068955

7,83

27,5413303

8,05

30,1041938

8,16

26,955695

8,39

29,3554117

8,53

29,5870093

9,20

31,911204

11,82

39,8775468

12,06

41,1676268

12,10

39,4540412

12,82

41,5623544

12,89

42,24489

13,35

44,2463874

15,31

48,4919497

16,05

52,1379078

16,13

53,045999

16,14

52,624358

16,23

53,1270016

16,73

55,0877825

18,00

57,9330657

18,47

59,3026116

18,55

61,2327093

18,96

60,7484395

19,23

63,2760945

20,00

62,615134

Уравнение регрессии:                y= 3,002481432*x+ 4,098892723

коэффициент детерминации R2: 0,996193916

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (3,144605477; 5,053179969)

X : (2,930638292; 3,074324572).

стандартные ошибки коэффициентов:  Y: 0,465867432        X: 0,035072646

F-статистика: 7328,643424.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,11129988

-1,044284559

-1,172067872

2

20,71393059

0,208931721

0,234497538

3

23,40376617

1,149163752

1,289780551

4

23,64017481

-0,402331732

-0,451562835

5

24,6078009

-0,297972248

-0,334433461

6

25,60154189

1,005353654

1,128373208

7

27,61513878

-0,073808488

-0,082840023

8

28,27350937

1,830684376

2,054695076

9

28,59238615

-1,6366912

-1,83696403

10

29,29748868

0,057923004

0,06501072

11

29,70158253

-0,114573195

-0,128592882

12

31,71243049

0,198773525

0,223096339

13

39,60050734

0,277039427

0,310939206

14

40,3083588

0,859268

0,964411862

15

40,4279376

-0,973896367

-1,093066666

16

42,5913516

-1,028997217

-1,154909902

17

42,80164534

-0,55675531

-0,624882371

18

44,17611421

0,070273147

0,078872082

19

50,06983672

-1,577887019

-1,770964307

20

52,30197417

-0,164066341

-0,18414223

21

52,51914025

0,52685874

0,591327524

22

52,55075303

0,073604971

0,082611604

23

52,83251915

0,294482486

0,330516676

24

54,34443491

0,74334756

0,83430688

25

58,14346687

-0,210401168

-0,236146792

26

59,55229746

-0,249685844

-0,280238517

27

59,80245079

1,430258473

1,605271274

28

61,04084725

-0,292407788

-0,328188108

29

61,84491154

1,431182983

1,606308911

30

64,14852136

-1,533387345

-1,721019454

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным:

y = 3*x + 4      y= 3,002481432*x+ 4,098892723

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,002481. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0,09889.

III.

1. Используя генератор случайных чисел, находим по 30 значений Ui , Vi.Выборку производим из генеральной совокупности N(0;2).

Ui

Vi

0,902655

0,260757

-0,88288

-0,70846

1,771532

4,823814

-0,53499

-1,62389

2,901897

2,311372

2,35671

0,011551

1,067474

-0,01354

0,907062

-2,47771

-0,19715

-0,81773

-0,28407

-0,54451

0,74835

0,724449

0,36609

-1,62836

1,247126

0,04246

-1,05005

-1,07188

-0,84576

-1,06307

2,296219

-0,49956

-1,30035

0,838904

1,616459

3,673795

0,573948

2,270094

4,074464

3,471778

0,477646

-3,86124

-0,18024

-2,20909

0,706505

-0,10294

-0,10416

-2,30452

-1,4826

0,484101

0,352875

-2,26195

-3,49128

1,007611

2,122201

6,252667

-2,38327

-2,36716

0,274958

-3,21194

2. Затем, полагая вместо Xi значения X+Ui, а вместо Yi — Y+Vi, получим две зависимые выборки и найдем по полученным значениям уравнение линейной регрессии.

Xi

Yi

5,902655

19,26076

4,65089

19,89285

8,201172

28,11273

5,973383

21,90124

9,73255

26,80333

9,518336

25,49643

8,899744

27,48327

8,958608

25,67693

7,960601

27,65552

8,108516

28,63326

9,275527

30,30598

9,562995

29,96235

13,07122

39,51473

11,0098

39,10766

11,25392

39,23596

15,11643

41,96109

11,58991

43,50967

14,96449

47,71789

15,88493

52,20305

20,12888

55,63502

16,60439

48,51899

15,95703

50,20273

16,93762

52,59041

16,63051

51,89949

16,51737

58,48401

18,82207

57,14562

15,06123

60,66513

21,08717

67,14756

16,8495

59,33113

20,27496

60,78806

y= 2,950504846*x+ 3,41182941

коэффициент детерминации R2: 0,913294175

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: -1,379711969; 8,203370788)

X : (2,598577611; 3,302432082).

стандартные ошибки коэффициентов:  Y: 2,339152164 X: 0,171805123

F-статистика: 294,9310157.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

20,82764248

-1,566882483

-0,368909635

2

17,13430405

2,758545951

0,649477029

3

27,6094258

0,503304197

0,118498847

4

21,03632487

0,864915133

0,203637177

5

32,12776609

-5,324436093

-1,253594828

6

31,49572585

-5,999295854

-1,412485026

7

29,67056781

-2,187297813

-0,514981338

8

29,84424445

-4,167314449

-0,981160023

9

26,89962207

0,755897926

0,17796997

10

27,33604592

1,297214077

0,30541842

11

30,77931726

-0,473337257

-0,111443377

12

31,62749318

-1,665143183

-0,392044311

13

41,97852067

-2,463790673

-0,580079316

14

35,89629408

3,211365921

0,756089779

15

36,61656352

2,619396482

0,616715428

16

48,01294391

-6,051853913

-1,42485939

17

37,60790814

5,90176186

1,389521446

18

47,56463457

0,153255431

0,036082735

19

50,28039711

1,922652886

0,45267286

20

62,80218152

-7,16716152

-1,687449422

21

52,40316117

-3,884171169

-0,914496259

22

50,49311961

-0,290389614

-0,068369854

23

53,386363

-0,795952998

-0,187400608

24

52,48023625

-0,580746247

-0,136731943

25

52,14639722

6,337612783

1,492138973

26

58,94642758

-1,800807582

-0,423985382

27

47,85006088

12,81506912

3,017202965

28

65,62961502

1,517944977

0,3573877

29

53,12635335

6,204776646

1,460863794

30

63,23319254

-2,445132541

-0,575686411

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным :

y = 3*x + 4   y= 2,950504846*x+ 3,41182941

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,0495. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0,5882.

3. Изменяя только Yi(Yi = Y + Vi) и оставляя неизменными X, получим пару выборок, снова найдем уравнение линейной регрессии.

X

Yi

5,00

19,26076

5,53

19,89285

6,43

28,11273

6,51

21,90124

6,83

26,80333

7,16

25,49643

7,83

27,48327

8,05

25,67693

8,16

27,65552

8,39

28,63326

8,53

30,30598

9,20

29,96235

11,82

39,51473

12,06

39,10766

12,10

39,23596

12,82

41,96109

12,89

43,50967

13,35

47,71789

15,31

52,20305

16,05

55,63502

16,13

48,51899

16,14

50,20273

16,23

52,59041

16,73

51,89949

18,00

58,48401

18,47

57,14562

18,55

60,66513

18,96

67,14756

19,23

59,33113

20,00

60,78806

y= 2,963989827*x+ 4,427294273

коэффициент детерминации R2: 0,973208572

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (1,898559719; 6,956028827)

X : (2,773615042; 3,154364613).

стандартные ошибки коэффициентов: Y: 1,234486867 X: 0,092937858

F-статистика: 1017,110415.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,24724341

0,01351659

0,005725019

2

20,8293285

-0,936478498

-0,396650121

3

23,48468057

4,628049429

1,960233334

4

23,71805847

-1,816818474

-0,769522493

5

24,67327966

2,130050341

0,902193407

6

25,65428096

-0,157850962

-0,066858559

7

27,64206368

-0,158793684

-0,067257854

8

28,29199401

-2,615064008

-1,107623355

9

28,60678281

-0,951262807

-0,402912089

10

29,30284597

-0,669585972

-0,283606466

11

29,70175936

0,604220635

0,255920653

12

31,68682839

-1,72447839

-0,730411392

13

39,47378064

0,040949362

0,017344306

14

40,1725575

-1,064897499

-0,451042627

15

40,2906033

-1,054643299

-0,44669941

16

42,42628248

-0,465192483

-0,197034588

17

42,63388027

0,875789731

0,370945093

18

43,99072854

3,727161457

1,578657756

19

49,80889394

2,394156056

1,014056695

20

52,01241554

3,622604458

1,53437212

21

52,22679757

-3,70780757

-1,570460321

22

52,25800508

-2,05527508

-0,870521973

23

52,53615898

0,054251024

0,022978291

24

54,02869208

-2,129202078

-0,901834121

25

57,77902071

0,704989291

0,298601718

26

59,16979019

-2,02417019

-0,857347343

27

59,41673658

1,248393424

0,528763238

28

60,63925687

6,508303129

2,756624132

29

61,43301311

-2,101883112

-0,890263037

30

63,70709082

-2,91903082

-1,236370009

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным:

y = 3*x + 4     y= 2,963989827*x+ 4,427294273

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,036. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0,4273.

4.Полагая вместо Vi значения 0,5Vi; 1,5Vi и так далее, получим новые пары выборок и вновь вычислим уравнение линейной регрессии.

 Vi=0,5Vi:

Ui

0,5Vi

0,902655

0,130379

-0,88288

-0,35423

1,771532

2,411907

-0,53499

-0,81195

2,901897

1,155686

2,35671

0,005776

1,067474

-0,00677

0,907062

-1,23886

-0,19715

-0,40887

-0,28407

-0,27226

0,74835

0,362225

0,36609

-0,81418

1,247126

0,02123

-1,05005

-0,53594

-0,84576

-0,53154

2,296219

-0,24978

-1,30035

0,419452

1,616459

1,836898

0,573948

1,135047

4,074464

1,735889

0,477646

-1,93062

-0,18024

-1,10455

0,706505

-0,05147

-0,10416

-1,15226

-1,4826

0,242051

0,352875

-1,13098

-3,49128

0,503806

2,122201

3,126334

-2,38327

-1,18358

0,274958

-1,60597

Yi = Y+0,5Vi

X

Yi=Y+0,5Vi

5

19,130379

5,53

20,247076

6,43

25,700826

6,51

22,713187

6,83

25,647644

7,16

25,490654

7,83

27,490041

8,05

26,915782

8,16

28,064386

8,39

28,905515

8,53

29,943755

9,20

30,776536

11,82

39,493504

12,06

39,6436

12,10

39,767485

12,82

42,210866

12,89

43,090218

13,35

45,880997

15,31

51,067998

16,05

53,899133

16,13

50,44961

16,14

51,307272

16,23

52,64188

16,73

53,051756

18,00

58,241959

18,47

58,2766

18,55

60,161327

18,96

64,021228

19,23

60,514714

20

62,39403

Уравнение регрессии:                y= 2,981994985*x+4,2136464

коэффициент детерминации R2: 0,993246535

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (2,949279007; 5,478013793)

X : (2,886807583; 3,077182386).

стандартные ошибки коэффициентов:  Y: 0,61724349     X: 0,046468933

F-статистика: 4118,019632.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,12362132

0,006757177

0,005724072

2

20,715317

-0,468240808

-0,396651406

3

23,38679937

2,31402636

1,960234548

4

23,62159496

-0,908407965

-0,769521345

5

24,58261876

1,065025609

0,902193696

6

25,56957929

-0,078925712

-0,066858749

7

27,56943707

-0,079396252

-0,067257348

8

28,22331548

-1,307533194

-1,107624262

9

28,54001651

-0,475630982

-0,402911695

10

29,240308

-0,334792685

-0,283606185

11

29,64164465

0,302110049

0,255920402

12

31,63877224

-0,862235975

-0,730408597

13

39,47302739

0,020476547

0,017345885

14

40,17604906

-0,532448672

-0,45104252

15

40,29481195

-0,527326592

-0,446703556

16

42,4434646

-0,232598222

-0,197036247

17

42,65232347

0,437894849

0,370945044

18

44,0174141

1,863582642

1,578659233

19

49,87092274

1,197075097

1,014054119

20

52,08782993

1,811302582

1,534372278

21

52,30351425

-1,853904136

-1,570460474

22

52,33491133

-1,027639563

-0,870523607

23

52,61475491

0,027125107

0,022977946

24

54,11635461

-1,06459837

-0,901831777

25

57,88946512

0,352493829

0,298600999

26

59,28868301

-1,01208332

-0,85734576

27

59,53712951

0,624197278

0,528763669

28

60,76707617

3,254151584

2,756623895

29

61,56565419

-1,050940174

-0,890261784

30

63,85354609

-1,45951609

-1,236370472

Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным:

y = 3*x + 4      y= 2,981994985*x+4,2136464

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на 0,01801. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0, 21365.

Vi=1,5Vi:

Ui

1,5Vi

0,902655

0,391136

-0,88288

-1,06269

1,771532

7,235721

-0,53499

-2,43584

2,901897

3,467058

2,35671

0,017327

1,067474

-0,02031

0,907062

-3,71657

-0,19715

-1,2266

-0,28407

-0,81677

0,74835

1,086674

0,36609

-2,44254

1,247126

0,06369

-1,05005

-1,60782

-0,84576

-1,59461

2,296219

-0,74934

-1,30035

1,258356

1,616459

5,510693

0,573948

3,405141

4,074464

5,207667

0,477646

-5,79186

-0,18024

-3,31364

0,706505

-0,15441

-0,10416

-3,45678

-1,4826

0,726152

0,352875

-3,39293

-3,49128

1,511417

2,122201

9,379001

-2,38327

-3,55074

0,274958

-4,81791

Yi=Y+1,5Vi

X

Yi=Y+1,5Vi

5

19,391136

5,53

19,538616

6,43

30,52464

6,51

21,089297

6,83

27,959016

7,16

25,502205

7,83

27,476501

8,05

24,438072

8,16

27,246656

8,39

28,361005

8,53

30,668204

9,20

29,148176

11,82

39,535964

12,06

38,57172

12,10

38,704415

12,82

41,711306

12,89

43,929122

13,35

49,554792

15,31

53,338092

16,05

57,370911

16,13

46,58837

16,14

49,098182

16,23

52,53894

16,73

50,747236

18,00

58,72606

18,47

56,01465

18,55

61,168938

18,96

70,273895

19,23

58,147554

20

59,18209

Уравнение регрессии:                y= 2,945984954*x+ 4,6409392

коэффициент детерминации R2: 0,940999679

доверительные интервалы для коэффициентов:

Y: (0,84783702; 8,43404138)

X : (2,660422749; 3,231547158).

стандартные ошибки коэффициентов:  Y: 1,851730471          X: 0,1394068

F-статистика: 446,5736918.

Остатки и стандартные остатки:

Наблюдение

Предсказанное Yi

Остатки

Стандартные остатки

1

19,37086397

0,020271532

0,005724072

2

20,94333862

-1,404722425

-0,396651406

3

23,58256065

6,942079081

1,960234548

4

23,81452089

-2,725223896

-0,769521345

5

24,76393954

3,195076828

0,902193696

6

25,73898172

-0,236777137

-0,066858749

7

27,71468957

-0,238188757

-0,067257348

8

28,36067187

-3,922599581

-1,107624262

9

28,67354847

-1,426892945

-0,402911695

10

29,36538337

-1,004378055

-0,283606185

11

29,76187355

0,906330148

0,255920402

12

31,7348842

-2,586707926

-0,730408597

13

39,47453429

0,061429642

0,017345885

14

40,16906641

-1,597346015

-0,45104252

15

40,28639513

-1,581979776

-0,446703556

16

42,40910105

-0,697794666

-0,197036247

17

42,61543777

1,313684547

0,370945044

18

43,96404382

5,590747927

1,578659233

19

49,74686654

3,591225292

1,014054119

20

51,93700276

5,433907746

1,534372278

21

52,15008252

-5,561712407

-1,570460474

22

52,18110046

-3,082918689

-0,870523607

23

52,4575647

0,081375322

0,022977946

24

53,94103135

-3,19379511

-0,901831777

25

57,66857846

1,057481488

0,298600999

26

59,05089965

-3,036249959

-0,85734576

27

59,29634595

1,872591833

0,528763669

28

60,51144

9,762454753

2,756623895

29

61,30037454

-3,152820522

-0,890261784

30

63,56063827

-4,37854827

-1,236370472

       Новое уравнение регрессии сравним с первоначальным:

y = 3*x + 4      y= 2,945984954*x+ 4,6409392

Коэффициент при переменной X отклоняется от истинного значения приблизительно на  0,05402. При этом константа изменяется по сравнению с заданной приблизительно на 0, 6409.

Заключение

    В данном случае максимально близким к истинной зависимости будет следующее уравнение:

y= 3,000827144*x+ 4,032964241.

   Оно получается при дисперсии 0,5, неизменной выборке X, минимально измененной выборке Y. В этом случае коэффициент детерминации  R² максимален (0,999575198),

стандартные ошибки коэффициентов минимальны (Y: 0,155289144; X: 0,011690882).

 Сравнивая полученные для каждого вычисления графики, также можно прийти к выводу о том, что указанное ранее уравнение является наиболее точным по отношению к истинной зависимости.

 Чем меньше дисперсия выборки и изменения выборок X иY, тем точнее уравнение линейной регрессии по отношению к истинной зависимости.

    Таким образом, на основе данных, полученных в результате исследования, можно сделать следующие выводы:

Ø      уравнение линейной регрессии зависит от дисперсии выборки;

Ø      уравнение линейной регрессии зависит от изменения двух выборок X иY.