Кластерный анализ

Кластерный анализ

Кластерный анализ

КЛАСТЕРНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Введение в кластерный анализ.

При анализе и прогнозировании социально-экономических явлений исследователь довольно часто сталкивается с многомерностью их описания. Это  происходит при решении задачи сегментирования рынка, построении типологии стран по достаточно большому числу показателей, прогнозирования конъюнктуры рынка отдельных товаров, изучении и прогнозировании экономической депрессии и многих других проблем.

Методы многомерного анализа - наиболее действенный количественный инструмент исследования социально-экономических процессов, описываемых большим  числом характеристик. К ним относятся кластерный анализ, таксономия, распознавание образов, факторный анализ.

Кластерный анализ наиболее ярко отражает черты многомерного анализа в классификации, факторный анализ – в исследовании связи.

Иногда подход кластерного анализа называют в литературе численной таксономией, численной классификацией, распознаванием с самообучением и т.д.

Первое применение кластерный анализ нашел в социологии. Название кластерный анализ происходит от английского слова cluster – гроздь, скопление. Впервые в 1939 был определен предмет кластерного анализа и сделано его описание исследователем Трионом. Главное назначение кластерного анализа – разбиение множества исследуемых объектов и признаков на однородные в соответствующем понимании группы или кластеры. Это означает, что решается задача классификации данных и выявления соответствующей структуры в ней. Методы кластерного анализа можно применять в самых различных случаях, даже в тех случаях, когда речь идет о простой группировке, в которой все сводится к образованию групп по количественному сходству.

Большое достоинство кластерного анализа в том, что он позволяет производить разбиение объектов не по одному параметру, а по целому набору признаков. Кроме того, кластерный анализ в отличие от большинства математико-статистических методов не накладывает никаких ограничений на вид рассматриваемых объектов, и позволяет рассматривать множество исходных данных практически произвольной природы. Это имеет большое значение, например, для прогнозирования конъюнктуры, когда показатели имеют разнообразный вид, затрудняющий применение традиционных эконометрических подходов.

Кластерный анализ позволяет рассматривать достаточно большой объем информации и резко сокращать, сжимать большие массивы социально-экономической информации, делать их  компактными и наглядными.

Важное значение кластерный анализ имеет применительно к совокупностям временных рядов, характеризующих экономическое развитие (например, общехозяйственной и товарной конъюнктуры). Здесь можно выделять периоды, когда значения соответствующих показателей были достаточно близкими, а также определять группы временных рядов, динамика которых наиболее схожа.

Кластерный анализ можно использовать циклически. В этом случае исследование производится до тех пор, пока не будут достигнуты необходимые результаты. При этом каждый цикл здесь может давать информацию, которая способна сильно изменить направленность и подходы дальнейшего применения кластерного анализа. Этот процесс можно представить системой с обратной связью.

В задачах  социально-экономического прогнозирования весьма перспективно сочетание кластерного анализа  с другими количественными методами (например, с регрессионным анализом).

Как и любой другой метод, кластерный анализ имеет определенные недостатки  и ограничения: В частности, состав  и количество кластеров зависит от  выбираемых критериев разбиения. При сведении исходного массива данных к более компактному виду могут возникать определенные искажения, а также могут теряться индивидуальные черты отдельных объектов за счет  замены их характеристиками обобщенных значений параметров кластера. При проведении классификации объектов игнорируется очень часто возможность отсутствия в рассматриваемой  совокупности каких-либо значений кластеров.

В кластерном анализе считается, что:

а) выбранные характеристики допускают в принципе желательное разбиение на кластеры;

б) единицы измерения (масштаб) выбраны правильно.

Выбор масштаба играет большую роль. Как правило, данные нормализуют вычитанием среднего и делением на стандартное отклоненение, так что дисперсия оказывается равной единице.

Задача кластерного анализа.

Задача кластерного анализа заключается в том, чтобы на основании данных, содержащихся во множестве Х, разбить множество объектов G на m (m – целое) кластеров (подмножеств) Q1, Q2, …, Qm, так, чтобы каждый объект Gj принадлежал одному и только одному подмножеству разбиения и чтобы объекты, принадлежащие одному и тому же кластеру, были сходными, в то время, как объекты, принадлежащие разным кластерам были разнородными.

Например, пусть G включает n стран, любая из которых характеризуется ВНП на душу населения (F1), числом М автомашин на 1 тысячу человек (F2), душевым потреблением электроэнергии (F3), душевым потреблением стали (F4) и т.д. Тогда Х1 (вектор измерений) представляет собой набор указанных характеристик для первой страны, Х2 - для второй, Х3 для третьей, и т.д. Задача заключается в том, чтобы разбить страны по уровню развития.

Решением задачи кластерного анализа являются разбиения, удовлетворяющие некоторому критерию оптимальности. Этот критерий может представлять собой некоторый функционал, выражающий уровни желательности различных разбиений и группировок, который называют целевой функцией. Например, в качестве целевой функции может быть взята внутригрупповая сумма квадратов отклонения:

где xj - представляет собой измерения j-го объекта.

Для решения  задачи кластерного анализа необходимо определить понятие сходства и разнородности.

Понятно то, что объекты i-ый и j-ый попадали бы в один кластер, когда расстояние (отдаленность) между точками Хi и Хj было бы достаточно маленьким и попадали бы в разные кластеры, когда это расстояние было бы достаточно большим. Таким образом, попадание в один или разные кластеры объектов определяется понятием расстояния между Хi и Хj из Ер, где Ер - р-мерное евклидово пространство. Неотрицательная функция d(Хi , Хj) называется функцией расстояния (метрикой), если:

а) d(Хi , Хj) ³ 0, для всех Хi и Хj из Ер

б) d(Хi, Хj) = 0, тогда и только тогда, когда Хi = Хj

в) d(Хi, Хj) = d(Хj, Хi)

г) d(Хi, Хj) £ d(Хi, Хk) + d(Хk, Хj), где Хj; Хi и Хk - любые три вектора из Ер.

Значение d(Хi, Хj) для Хi и Хj называется расстоянием между Хi и Хj и эквивалентно расстоянию между Gi и Gj соответственно выбранным характеристикам (F1, F2, F3, ..., Fр).

Наиболее часто употребляются следующие функции расстояний:

1. Евклидово расстояние         d2(Хi , Хj) =

2. l1 - норма                                          d1(Хi , Хj) =

3. Сюпремум - норма              d¥ (Хi , Хj) = sup

k = 1, 2, ..., р

4. lp - норма                              dр(Хi , Хj) =

Евклидова метрика является наиболее популярной. Метрика l1 наиболее легкая для вычислений. Сюпремум-норма легко считается и включает в себя процедуру упорядочения, а lp - норма охватывает функции расстояний 1, 2, 3,.

Пусть n измерений Х1, Х2,..., Хn представлены в виде матрицы данных размером p ´ n:

Тогда расстояние между парами векторов d(Хi , Хj) могут быть представлены в виде симметричной матрицы расстояний:

Понятием, противоположным расстоянию, является понятие сходства между объектами Gi. и Gj. Неотрицательная вещественная функция S(Хi ; Хj) = Sij  называется мерой сходства, если :

1) 0£ S(Хi , Хj) djk

B(w) =, если dik £ djk

B(w) = , если dik >  djk

где ni  и nj - число элементов в кластерах i и j, а w – свободный параметр, выбор которого определяет конкретный алгоритм. Например, при w = 1 мы получаем, так называемый, алгоритм «средней связи», для которого формула перерасчета расстояний принимает вид:

di+j,k =

В данном случае расстояние между двумя кластерами на каждом шаге работы алгоритма оказывается равным среднему арифметическому из расстояний между всеми такими парами элементов, что один элемент пары принадлежит  к одному кластеру, другой - к другому.

Наглядный смысл параметра w становится понятным, если положить w ® ¥. Формула пересчета расстояний принимает вид:

di+j,k = min (di,k djk)

Это будет  так называемый алгоритм «ближайшего соседа», позволяющий выделять кластеры сколь угодно сложной формы при условии, что различные части таких кластеров соединены цепочками близких друг к другу элементов. В данном случае расстояние между двумя кластерами на каждом шаге работы алгоритма оказывается равным расстоянию между двумя самыми близкими элементами, принадлежащими к этим двум кластерам.

Довольно часто предполагают, что первоначальные расстояния (различия) между группируемыми элементами  заданы. В некоторых  задачах это действительно так. Однако, задаются только объекты и их характеристики и матрицу расстояний строят исходя из этих данных. В зависимости от того, вычисляются ли расстояния между объектами или между характеристиками объектов, используются разные способы.

В случае кластер анализа объектов наиболее часто мерой различия служит либо квадрат евклидова расстояния

(где xih, xjh - значения h-го признака для i-го и j-го объектов, а m - число характеристик), либо само евклидово расстояние. Если признакам приписывается разный вес, то эти веса можно учесть при вычислении расстояния

Иногда в качестве меры различия  используется расстояние, вычисляемое по формуле:

которые называют: "хэмминговым", "манхэттенским" или "сити-блок" расстоянием.

Естественной  мерой сходства характеристик объектов во многих задачах является коэффициент корреляции между ними

где mi ,mj ,di  ,dj - соответственно средние и среднеквадратичные отклонения для характеристик i и j. Мерой различия между характеристиками может служить величина  1 - r. В некоторых задачах  знак коэффициента корреляции несуществен и зависит лишь от  выбора единицы измерения. В этом случае в качестве меры различия  между характеристиками используется ô1 - ri j ô

1.5 Число кластеров.

Очень важным вопросом является проблема выбора необходимого числа кластеров. Иногда можно m число кластеров выбирать априорно. Однако в общем случае это число определяется в процессе разбиения  множества на кластеры.

Проводились исследования Фортьером и Соломоном, и было установлено, что число кластеров должно быть принято для достижения вероятности a того, что найдено наилучшее разбиение. Таким образом, оптимальное число разбиений является функцией заданной доли b наилучших или в некотором смысле допустимых разбиений во множестве  всех возможных. Общее рассеяние будет тем больше, чем выше доля b допустимых разбиений. Фортьер и Соломон разработали таблицу, по которой можно найти число необходимых разбиений. S(a, b) в зависимости от a и b (где a - вероятность того, что найдено наилучшее разбиение,  b - доля наилучших разбиений в общем числе разбиений) Причем в качестве меры разнородности используется не мера рассеяния, а мера принадлежности, введенная Хользенгером и Харманом. Таблица значений S(a, b) приводится ниже.

Таблица значений S(a, b)

b a Наш опрос Как Вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Не помог Результаты опроса Реклама   Мнение авторов может не совпадать с мнением редакции сайта Перепечатка материалов без ссылки на наш сайт запрещена