Математические вычисления

Математические вычисления

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ КОНСОРЦИУМ

СРЕДНЕРУССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И БИЗНЕСА

Контрольная работа

по курсу «Математика»

Выполнил студент В.В.Тюрин

Тула 2010

1. Задача 1

Для заданных двух множеств найти произведения  и , изобразить их графически и найти пересечение

,

Решение

1.Определяем мощность декартового произведения:

2.Записываем декартовы произведения в виде явного перечисления:

3.Определяем пересечение множеств:

{Ø}

4.Изображаем элементы декартовых произведений АхВ и ВхА в виде точек декартовой плоскости (рис.1). Произведениями множеств являются

совокупности точек, обозначенные разными символами.

Рис. 1. Прямое A x B и обратного B x A произведения двух точечных множеств

Очевидно, что их пересечение пусто, что и соответствует аналитическому решению.

2. Задача 2

Вычислить предел функции с использованием основных теорем

Решение

3. Задача 3

Раскрытие неопределенности вида  и  с использованием правила Лопиталя

Решение

Неопределенность

4. Задача 4

Найти производную простой функции

Решение

Итак,

5. Задача 5

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале

Решение

1. Находим первую производную заданной функции

2. Определяем критические точки первого рода:

 или ,

Отсюда ,

3. Подвергаем эти точки дополнительному исследованию в табличной форме (таблица 1), учитывая, что заданная функция определена на участке  числовой оси:

Таблица 1

	-1,2	()	0	()	1	()	2,5
Знак		-		+		-
Величина	32,88		-6		-1		244
Экстремум			m				M

Итак,

В данном случае один из глобальных экстремумов совпадает с одним из локальных экстремумов.

6. Задача 6

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки

Решение

Выполним подстановку:

Продифференцируем обе части уравнения:

=

7. Задача 7

Вычислить неопределенный интеграл от рациональной дроби

Решение

1. Найдем производную знаменателя:

2. Выделим в числителе выражение , для этого умножим знаменатель на 2 и умножим дробь на , чтобы значение дроби не изменилось, и вынесем  за знак интеграла.

3. Запишем число , как , получим:

4. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей:

5. Вычислим интеграл , для этого выражение внесем под знак дифференциала. Интеграл принимает табличный вид:

6. Вычислим интеграл , для этого выделим в знаменателе полный квадрат.

Интеграл принимает табличный вид:

7. Записываем решение:

8. Задача 8

Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям

Решение

9. Задача 9

По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить его длины сторон, углы и площадь

А(-5; -5; 3);В(-4; 1; 1);С(1; 4; 0)

Решение

1. Записываем стороны треугольника в форме линейных разложений векторов и строим векторную схему треугольника (рис.1):

Рис. 2 Схема треугольника

2 Вычисляем длины сторон:

3. Определяем углы треугольника,

следовательно, =23.3o

следовательно, 25,4о

Угол  по формуле .

Следовательно, ,

4. Проверяем достоверность вычисления углов треугольника

следовательно, все расчеты выполнены правильно.

5. Вычисляем площадь треугольника:

10. Задача 10

Найти для заданной матрицы  присоединенную  и обратную  матрицы

Решение

1. Вычисляем определитель матрицы

Итак, матрица неособенная и для нее существует обратная матрица .

2. Вычисляем для всех элементов матрицы  алгебраические дополнения:

3. Записываем присоединенную матрицу:

4. Вычисляем обратную матрицу

5. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы, умножая ее на исходную матрицу

=

Получили единичную матрицу, следовательно, задача решена верно.

11. Задача 11

Найти произведения  и  квадратных матриц  и

Решение

Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

1.      Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)

12. Задача 12

Найти произведение  прямоугольных матриц

Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц

,

устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

13. Задача 13

Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме

Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:

    

то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:

так как определитель системы , следовательно, система имеет решение и при этом одно.

3. Вычисляем остальные определители:

4. Вычисляем значения неизвестных:

Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:

.

1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:

, ,

2. Вычисляем определитель матрицы :

Итак, матрица  неособенная и для нее существует обратная матрица .

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:

4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:

5. Вычисляем обратную матрицу :

6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:

Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:

 или (1, 2, 1).

3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:

Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:

Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.

Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.

Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:

Итак, решение системы уравнений имеет вид:

, ,

или в краткой форме: (1,2,1).

14. Задача 14

Определить число элементарных событий и простых соединений

Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Решение

Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные:

15. Задача 15

Вычислить вероятность события по классической схеме

Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

Решение

1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.

2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:

3. Вероятность искомого события:

16. Задача 16

Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения.

Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.

Решение

Пусть

P(A) – вероятность попадания 3 раза,

P(B) – вероятность попадания в 1-й раз,

P(C) – вероятность попадания во 2-й раз,

P(D) – вероятность попадания в 3-й раз.

Тогда

P(B)=0,8

P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7

P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6

P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336

17. Задача 17

Вычисление вероятности повторных независимых испытаний

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.

Решение

Используем формулу Я. Бернулли:

1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли:

n=5, k=3, p=0,5, q=1-0,5=0,5

2. Вычисление вероятности искомого события:

18. Задача 18

Найти законы распределения случайных величин  и , если законы распределения случайных величин  и  имеют вид

	0	2	4	6
	0,1	0,2	0,3	0,4

	3	5	7	9
	0,3	0,2	0,2	0,3

Решение

Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин.

1. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения переменной величины Z=Х-Y (разности двух случайных величин), используя табл.2.

Таблица 2.

		3	5	7	9
		0.3	0.2	0.2	0.3
0	0.1	-3    0.03	-5   0.02	-7  0.02	-9   0.03
2	0.2	-1    0.06	-3   0.04	-5  0.04	-7   0.06
4	0.3	1   0.09	-1   0.06	-3  0.06	-5   0.09
6	0.4	3   0.12	1   0.08	-1  0.08	-3  0.12

2. Записываем закон распределения случайной величины Z=X-Y в табл.3.

Таблица 3

	-9	-7	-5	-3	-1	1	3
	0.03	0.08	0.15	0.25	0.2	0.17	0.12

2.      Проверяем достоверность вычислений:

0.03+0.08+0.15+0.25+0.2+0.17+0.12=1.0

4. Вычисляем промежуточные величины для вычисления распределения случайной величины  (произведения тех же случайных величин), используя табл.4.

Таблица 4

		3	5	7	9
		0.3	0.2	0.2	0.3
0	0.1	0    0.03	0   0.02	0  0.02	0   0.03
2	0.2	6    0.06	10   0.04	14  0.04	18   0.06
4	0.3	12   0.09	20   0.06	28  0.06	36   0.09
6	0.4	18   0.12	90   0.08	42  0.08	54  0.12

5. Записываем закон распределения случайной величины  в табл. 5.

Таблица 5

	0	6	10	12	14	18	20	28	36	42	54	90
	0.1	0.06	0.04	0.09	0.04	0.18	0.06	0.06	0.09	0.08	0.12	0.08

6. Проверяем достоверность вычислений:

0=1.0+0.06+0.04+0.09+0.04+0.18+0.06+0.06+0.09+0.08+0.12+0.08=1.0

19. Задача 19

Вычислить основные характеристики вариационного ряда

Таблица 6

	25	29	33	37	41	Итого
	16	8	19	10	7	60

Решение

1. Вычисления производим в табличной форме (табл.7).

Таблица 7

№№
1	25	16	625	400	10000
2	29	8	841	232	6728
3	33	19	1089	627	20691
4	37	10	1369	370	13690
5	41	7	1681	287	11767
Итого		60	6505	1916	62876
Среднее	-	-	93,42	31,93	1047,93

2. По итоговым данным табл.7, получаем:

- среднюю производительность труда

3. Вычисляем характеристики вариации:

- дисперсию

- среднее квадратическое отклонение

- коэффициент вариации

4. Результаты вычислений иллюстрирует график рис.3.

Рис. 3. Результаты вычислений

20. Задача 20

Найти линейное уравнение регрессии с построением эмпирической и теоретической линий регрессии и оценить тесноту связи для следующих статистических данных

Таблица 8

	103	108	102	111	95	109	118	123
	106	103	108	102	111	91	109	118

Решение

1. Решение производим в форме табл. 9 на основании системы нормальными уравнениями метода наименьших квадратов для линейной двухпараметрической регрессии:

.

Таблица 9

№№
1	103	106	10609	11236	10918
2	108	103	11664	10609	11124
3	102	108	10404	11664	11016
4	111	102	12321	10404	11322
5	95	111	9025	12321	10545
6	109	91	11881	8281	9919
7	118	109	13924	11881	12862
8	123	118	15129	13924	14514
Итого	869	848	94957	90320	92220
Среднее	108,63	106	11870	11290	11528

2. Подставляя итоговые числа сумм в уравнения метода наименьших квадратов, получаем алгебраическую систему двух уравнений с двумя неизвестными вида:

Отсюда получаем: ,

а из первого уравнения

3. Записываем корреляционное уравнение

4. Вычисляем коэффициент корреляции уравнения, используя итоговые данные табл.9

Линейный коэффициент корреляционного показывает, что зависимость между параметрами  и  слабая.

5. Графически результаты вычислений показаны на рис.4 в виде точек исходной статистической совокупности, соединенных серой линией и графика регрессионной зависимости  (сплошная черная линия).

Рис. 4. Результаты вычислений