Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
Метод касательных. Решения нелинейных уравнений. Паскаль 7.0
Введение
Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:
Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).
Математическая формулировка задачи.
Разработка алгоритма решения задачи.
Написание программы на языке программирования.
Подготовка исходных данных.
Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
Отладка программы.
Тестирование программы.
Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.
В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ.
Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах.
Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами:
детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату;
массовостью, позволяющей получать результат при различных исходных данных;
результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.
Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.
Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002-80 и ГОСТ 19.003-80.
На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык Паскаль ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.
Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.
В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.
Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.
Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.
Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.
Краткое описание сущности метода касательных
(метода секущих Ньютона)
Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f — функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f’ и f”.
Так как f’(x) № 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде: x = x – (f (x) / f’(x)) (1).
Решая его методом итераций, можем записать: xn+1 = xn – (f (xn) / f’(xn)) (2).
Если на отрезке [a;b] f’(x) * f“(x) > 0, то нулевое приближение выбираем x0 = a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y = f (x).
Пусть для определенности f‘(x) > 0 и f“(x) > 0. Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)).
Ее уравнение будет иметь вид: y = f (b) + f’(b) * (x – b).
Полагая в уравнении y = 0 и учитывая, что f’ (x) № 0, решаем его относительно x. Получим: x = b – (f (b) / f‘(b)).
Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox:
x1 = b – (f (b) – f’ (b)).
Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).
Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью оx:
x2 = x1 – (f (x1) / (f’ (x1)).
Вообще:
xk+1 = xk – (f (xk) / f’(xk)) (3).
Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке bk (xk; f (xk0). Метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.
Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения хk принадлежала интервалу ]a;b[.
В случае существования производных f’, f”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f’(х0) * f (х0) > 0.
Для оценки приближения используется общая формула:
|c-xk-1| Ј |f (xk+1) / m|, где m = min f’(x) на отрезке [a;b].
На практике проще пользоваться другим правилом. Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < |f (x)| и e — заданная точность решения, то неравенство |xk+1 - xk| Јe влечет выполнение неравенства |c-xk-1| Јe.
В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство:
|c-xk-1| Јe.
Решение нелинейного уравнения аналитически
Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим: f (x) = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2.
f‘ (x) = 3х2 + 0,1х + 0,4.
f (–1) = –2,5 < 0 f (0) = –1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0.
|
x 
Реклама
Мнение авторов может не совпадать с мнением редакции сайта
Перепечатка материалов без ссылки на наш сайт запрещена |