Моделирование и оптимизация процессов в деревообрабатывающей промышленности

Моделирование и оптимизация процессов в деревообрабатывающей промышленности

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Сибирский государственный технологический университет

Факультет механической технологии древесины

Кафедра технологии деревообработки

отчет

по лабораторным работам

 (ТД. 000000. 095. ПЗ)

Руководитель:

______________ Сычов А. Н.

                 (подпись)

___________________________

                (оценка, дата)   

Разработал:

студент группы 44-1

______________ (с) Иванов И. А.

                      (подпись)

 Содержание

1. Лабораторная работа № 1………………………………………………………         3

2. Лабораторная работа № 2………………………………………………………         6

3. Лабораторная работа № 3………………………………………………………         8

4. Лабораторная работа № 4………………………………………………………         10

5. Лабораторная работа № 5………………………………………………………         13

  

Лабораторная работа № 1

Определение оптимального плана производства

Условие задачи

На деревообрабатывающем предприятии установлено три типа оборудования. Известен об­щий фонд рабочего времени каждой группы оборудования, который зависит от количества станков, количества и продолжительности смен, а также от потерь рабочего времени на техническое обслуживание оборудования.

Известно, что на данном оборудовании можно выпускать четыре вида изделий. Трудоемкость каждого изделия также известна.

Требуется:

Часть 1. Определить оптимальный план производства, обеспечи­вающий максимальную прибыль в условиях полной экономической самостоя­тельности.

Часть 2. Определить оптимальный план производства, обеспечи­вающий максимальную прибыль в условиях обязательного выпуска некото­рых изделий в заданном количестве.

Часть 3. Определить дополнительный оптимальный план производ­ства для получения заданного прироста прибыли при минимальной перегруз­ке оборудования.

Если перегрузка превышает 20 % (для деревообработки), то необходимо наметить мероприятия для её снижения.

Таблица 1.1- Исходные данные

Группа оборудования	Фонд рабочего времени, станко-час	Трудоемкость, станко-час, для производства i-го изделия
		1	2	3	4
Круглопильные станки Фрезерные станки Оборудование для чистовой обработки	500 600 820	0,3 0,2 0,5	0,1 0,2 0,6	0 0,1 0,2	0,2 0,3 0,2
Прибыль, тыс. руб.		5	4	7	6

            Условия обязательного производства изделий первого и второго видов:

                                                                                                                     (1.1)

            где       - количество изделий первого и второго видов, шт.

Часть 1

            Пусть  - оптимизируемое количест­во изделий соответственно первого, второго, третьего и четвертого ти­пов.

          Тогда математическая модель, состоящая из целевой функции и огра­ничений, будет иметь вид:

                                              (1.2)

В результате расчета симплекс-методом на ЭВМ полученной матема­тической модели находим оптимальный план производства:

Х1=0 шт., Х2=0 шт., Х3=4100 шт., Х4=0 шт., который обеспечива­ет получение максимальной прибыли Р=28700 тыс. руб.    

Часть 2

Для данных условий математическая модель, состоящая из целевой функции и ограничений, будет иметь вид:

                                                          (1.3)

В результате расчета полученной модели на ЭВМ симплекс-методом находим оптимальный план производства:

х1=5 шт.; х2=10 шт.; х3=4058 шт.; х4=0 шт., который обеспечива­ет получение максимальной прибыли Р=28467 тыс.руб.

Анализируя полученные результаты для условий полной экономиче­ской самостоятельности (часть 1) и для условий обязательного выпуска из­делий первого и второго видов (часть 2), видим, что прибыль предприятия снизилась на ∆Р = 232,5 тыс. руб.

Часть 3

Для данных условий математическая модель будет иметь вид:

                                                             (1.4)

В результате расчета полученной модели на ЭВМ симплекс-методом находим дополнительный оптимальный план производства:

∆х1=0 шт., ∆х2=0 шт., ∆х3=34 шт., ∆х4=0 шт., который обеспечи­вает минимальную перегрузку оборудования – 9,96 станко-часов.

Перегрузка оборудования составляет:

                                                               (1.5)

Такая перегрузка для деревообрабатывающих производств, как правило, не требует ни дополнительного оборудования, ни введения дополнительных смен его работы и может быть скомпенсирована за счет организационно-технических мероприятий.

Таким образом, оптимальным планом производства, обеспечивающим максимальную прибыль Р=28700 тыс. руб. (часть 1) при обязательном про­изводстве изделий первого и второго видов (х1 ≥ 5, х2 ≥ 10) (часть 2), являет­ся:

количество изделий первого вида  — 5 шт.;

количество изделий второго вида  — 10 шт.;

количество изделий третьего вида  — 4092 шт.;

количество изделий четвертого вида  — 0 шт.

 Лабораторная работа № 2

Геометрическое решение ЗЛП симплекс методом

Условие задачи

                                                                                       (2.1)

Требуется: Определить оптимальные решения целевой функции графически.

	Рисунок 2.1 – График ограничений и целевой функции

 

            В результате вычислений был построен график ограничений и целевой функции. Из графика видно, что оптимальные решения находятся в точке E (5,2) и C (8,0). В точке С целевая функция имеет отрицательное значение f = – 14, что не допустимо. Следовательно, оптимальное решение целевой функции одно, и оно находится в точке Е.

                       

Тогда:            

Лабораторная работа № 3

Определение и анализ оптимальной программы производства

Условие задачи

В цехе установлено два типа оборудования и имеются запасы сырья двух видов. На данном оборудовании из этого сырья можно выпускать изде­лия трех видов.

Требуется:

Часть 1. Определить оптимальный план производства - максимизировать общее время работы оборудования при плановых заданиях и запасах сырья.

Часть 2. Оценить дефицитность используемых ресурсов.

Часть 3. Оценить целесообразность проведения мероприятий, свя­занных с увеличением плана производства продукции 1-ого вида на 10 единиц и уменьшением плана продукции 2-ого вида на 5 единиц.

            Таблица 3.1 – Исходные данные

Параметры
Значения	1	0,8	0,5	2	2	1,25	0,3	0,4	0,45	0,8	1,2	1,5
Параметры
Значения	750	1525	20	25	30

            Условные обозначения:

  - Плановые задания на выпуск изделий первого, второго и третьего видов.

                    - Нормы расхода сырья на единицу продукции каждого вида.

          - Время обработки продукции j – ого вида на оборудовании i – ого типа

            Часть 1. Определение оптимального плана производства.

            Математическая модель задачи:

Введем обозначения:

                         - оптимизируемое количество изделий.

             Общий вид модели, состоящей из целевой функции и ограниче­ний, будет следующим:

                       

                                         (3.1)

            С учетом конкретных данных математическая модель принимает следующий вид:

                                                                           (3.2)

          В результате расчета полученной модели на ЭВМ симплекс-методом находим оптимальный план производства:

            x1=20 шт.;    x2=340 шт.;    x3=916 шт., который обеспечивает максимальную загрузку оборудования, равную f = 2352,2 станко-часов.

           

            Часть 2. Оценка дефицитности использования ресурсов. 

          Дефицитность ресурсов оценивается с помощью двойственных оце­нок. Для их получения необходимо перейти от прямой задачи линейного программирования к двойственной задаче следующего вида:

                                          (3.3)

          В результате расчета полученной двойственной модели находим сим­плекс-методом двойственные оценки:

            y1=0,1;    y2=1,52;    y3=2,040;     f = 2352,2 станко-часов.

          Вывод. Численные значения полученных двойственных оценок показывают, что первый и второй виды ресурсов являются дефицитными. Изменение планового задания на изделия второго и третьего видов не приводит к изменению критерия оптимальности, а изменение планового задания на изделие первого вида приводит к изменению критерия оптимальности.

            Часть 3. Оценить целесообразность увеличения плана производства продукции 1-го вида на 10 единиц и уменьшения плана продукции 2-го вида на 5 единиц.

          Для оценки целесообразности данного мероприятия воспользуемся двойственными оценками, имея в виду, что они являются коэффи­циентами пропорциональности между правыми частями ограничений и кри­терием оптимальности.

                                                                                          (3.4)

            Вывод. Так как  при , то следует считать данное мероприятие целесообразным.

Лабораторная работа № 4

Определение оптимальной схемы транспортировки пиловочника

Условие задачи

В состав ассоциации входят 4 лесозаготовительных предприятия: ЛПХ-1, ЛПХ-2, ЛПХ-3 и ЛПХ-4 с годовыми объемами выпуска пиловочника – , также 4 лесопильно-деревообрабатывающих комбината: ЛДК-1, ЛДК-2, ЛДК-3 и ЛДК-4 с годовыми потребностями в пиловочнике – . Известны затраты на транспортировку 1м3 пиловочника от каждого ЛПХ к каждому ЛДК.

Требуется:

Определить оптимальную схему поставок пиловочника от лесозаго­товительных предприятий к лесопильно-деревообрабатывающим комбина­там, минимизирующую суммарные транспортные затраты.

Таблица 4.1 – Исходные данные задачи

Лесозаготови-тельные предприятия	Годовой выпуск пиловочника, тыс. м3	Лесопильно-деревообрабатывающие комбинаты
		Годовая потребность, тыс. м3
		ЛДК – 1	ЛДК – 2	ЛДК – 3	ЛДК – 4
		450	370	320	380	400
		Затраты на поставку 1 м3 пиловочника
ЛПХ – 1	500	3	7	8	5	0
ЛПХ – 2	300	8	6	4	5	0
ЛПХ – 3	550	9	7	6	5	0
ЛПХ – 4	540	4	5	8	10	0

 

Сопоставим суммарные объемы поставщиков и потребителей. Видим, что общий объем пиловочника у поставщиков составляет 1920 тыс.м3, а у потребителей – 1520 тыс.м3. Поскольку объемы не равны, рассматриваемая транспортная задача относится к классу открытых. Для перевода ее к за­крытому типу с равенством возможностей и потребностей вводим фиктив­ного потребителя с объемом УФ=400 тыс.м3. Транспортные затраты на по­ставку фиктивному потребителю принимаем равными нулю.

Математическая модель задачи.

Введем обозначение:

хij - объем пиловочника, тыс.м3, поставляемый от i-го ЛПХ к j-му ЛДК.

Тогда математическая модель имеет вид:

                                              (4.1)

ü      Ограничения по объемам поставщиков

                                                      (4.2)

ü      Ограничения по объемам потребителей

                                                              (4.3)

          В результате расчета полученной математической модели транспорт­ной задачи на ЭВМ методом потенциалов (стандартная программа «TRANS») находим оптимальный план перевозок:

Суммарные транспортные расходы

Используя полученные оптимальные объемы поставок пиловочника, составляем оптимальную схему транспортировки пиловочника (рисунок 4.1).

Над стрелками транспортных потоков указаны объемы пиловочника. В числителе указаны плановые объемы, в знаменателе - фактические.

Из схемы видим, что все потребители удовлетворены в полном объе­ме.

Отметим, что любое изменение полученной схемы транспортировки пиловочника может только увеличить суммарные транспортные расходы.

	Рисунок 4.1 – Оптимальная схема транспортировки пиловочника

Лабораторная работа № 4

Составление оптимального плана раскроя хлыстов на сортименты

Условие задачи

На складе сырья лесопипьно-деревообрабатывающего предприятия производится поперечный раскрой (раскряжевка) хлыстов на сортименты. Необходимо получить сортименты трех видов (длин) в определенных объе­мах (таблица 4.1); известны также длина и срединный диаметр раскраи­ваемых хлыстов. Толщиной пропилов и припусками по длине при раскряжевке будем пренебрегать.

Требуется:

Часть 1. Составить вручную индивидуальные схемы раскроя хлы­стов и определить симплекс-методом их оптимальный план раскроя по кри­терию минимума количества раскраиваемых хлыстов.

Часть 2. Составить методом ветвей и границ оптимальные схемы раскроя хлыстов и определить симплекс-методом их оптимальный план раскроя по критерию минимума количества раскраиваемых хлыстов. Вы­чертить оптимальные схемы раскроя.

Часть 3. Определить объемный выход сортиментов.

Дополнительные условия:

1. Раскрой хлыстов начинают с комлевой части, принимая комлевой торец за базу. Это повышает объемный и качественный выходы сортиментов, так как в отходы поступает наиболее тонкая и менее качественная вершинная часть хлыста.
2. Для упрощения расчетов в качестве модели формы хлыста можно при­нимать цилиндр.

Часть 1. Составление индивидуальных схем раскроя хлыстов и опре­деление оптимального плана раскроя симплекс-методом по критерию мини­мума объема раскраиваемых хлыстов.

Вписываем сортименты по длине хлыста. Индивидуальные схемы предполагают получение из хлыста сортиментов только одного вида. Полу­чаем следующие три схемы, представленные на рисунке 5.1. Характеристика схем раскроя приведена в таблице 5.1.

            Таблица 5.1 – Схемы раскроя хлыстов на сортименты

Номер схемы раскроя (j)	Количество сортиментов i-й длинны по j-й схеме, шт.			Длинна отходов, , м, по j-й схеме раскроя
	1	2	3
	Длинна i-го сортимента, м
	3,50	4,50	5,50
1	9	0	0	0,76
2	0	7	0	0,76
3	0	0	5	4,76