Нахождение пределов функций

Нахождение пределов функций

Контрольная работа по дисциплине «Математика»

для студентов заочного отделения

1. Найти пределы функций:

а)       =;  =

=  =  =

=  =  =  = 0;

б)      =  =

 =

 =

 =  =  =.6290;

в)      =  =

 =  =  = 0;

г)       = = =  =

= ln  = = ln e* = 1*56/3 = 18.667;

д)      ;  =  =

= = ;;

е)       =  =  =

=  =  +  =

=  -  = -  =

=  = 2.

2. Найти производные  функций:

а)       =  =

= ;

б)      =  =  = ;

в)      =  =

=  =

=  =

= ;

г)       = =

=  =

=  = ;

д)      = ;

е)       ; ;

;

ж)      ;; ;

; ;; ;;

з)       . = =

= = ;

3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции

.

1 Знаменатель положительный не для всех значений Х, область определения функции имеет точку разрыва.  отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.

2. Функция нечетная, следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х). Периодической функция не является.

3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.

4. Найдем асимптоты при  в виде у = kх+b. Имеем:

k =

b =

Таким образом при  асимптотой служит прямая ОХ оси координат.

Найдем левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7

=-1,19,

 .

В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.

5. Найдем точки пересечения с осями координат:

Х	0
У	1,08

Точка (0:3,86) с осью ОУ.

6. Исследуем на возрастание и убывание:

 =

.0;

Это говорит о том что функция возрастающая.

Строим график:

4. Найти интегралы при m=3, n=4:

а) =

= :

б)= = пусть t = arcsin4x,

 получим = = .

в)=

= ;

==.

Решаем равенство и получим:

;

аналогично второе слагаемое

3- получим =

подставим все в последнее равенство

… = + +9+-+С.

г).= = =

= ==

 = ….избавившись

от знаменателя получим

B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C);

Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28;

…=  = = = 2,527766.

5. Вычислить интегралы или установить их расходимость при m=3, n=4:

а)  = …

пусть t = arctg(x/4), тогда  и  подставим и получим

… = ;

б)=

= 0,6880057.

6. Построить схематический чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями: , при m=3, n=4.

 х = -1,5, у = -18,25.

точки пересечения с осью ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба – D(-1,5:-18,25)

X	-4.19	1.19	0
Y	0	0	-16

 или

Х	0	4
У	-4	0

Точки пересечения двух функций:

=  и  т.е.:  и .

Площадь получиться из выражения

= = 49,679.

График выглядит:

7. Найти частные производные  функций при m=3, n=4:

а) =,

,

,

б). ;

;

8. Найти дифференциал функции:  при m=3, n=4.

9. Для функции  в точке  найти градиент и производную по направлению  при m=3, n=4.

 в точке А(-4,3)

grad(z) = (-0,1429:0,1875);

=grad(z)* ()*cos=…

cos

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4

 

в области, заданной неравенствами:

.

D=AC-B;

A=

B=

C=

D=AC-B=()() - ;

найдем

;

Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).

A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11 > 0;

= -114,74 < 0 – нет экстремума функции,

= 45097,12 > 0 – min функции = 12,279;

= 1767.38 > 0 - min функции = 65,94;

= -160,296 < 0 – нет экстремума функции.

11. Изменить порядок интегрирования при m=3, n=4:

.

 = , так как

подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения получим

.

12. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями ,  и плоскостью, проходящей через точки ,  и .

А)см. рис.

 

- получим уравнение плоскости, через которую проходят точки А, В и С.

7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=

23x-812+116z-45y=0

Получим пределы интегрирования:

Для z – от 0 до z=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам).

= =

== =

=232,109 куб.ед.,

13. Вычислить при m=3, n=4 , где , , а контур образован линиями , , .

а) непосредственно;

б) по формулам Грина.

,

P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.

= =

= =

= =

= =

= =

= =

= =32,4060912,

где пределы интегрирования были получены:

 и у = 9, то  откуда х = 2,52.

14. Даны поле  и пирамида с вершинами , , ,. Найти при m=3, n=4:

O(0:0:0), A(3:0:0), B(0:4:0), C(0:0:7).

а) поток поля  через грань пирамиды в направлении нормали, составляющей острый угол с осью ;

=

= =

==

==

==…

после подстановки и преобразования однородных членов получим:

… = 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.

поток поля

= 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.

б) поток поля  через внешнюю поверхность пирамиды с помощью теоремы Остроградского – Гаусса;

в) циркуляцию поля  вдоль замкнутого контура ;

с помощью теоремы Стока (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды).

rot(F) = ,

в нашем случае

15. Найти первообразные и вычислить значение определенного интеграла:

= .