Нахождение всех комбинаций расстановки n ферзей на доске n X n

Нахождение всех комбинаций расстановки n ферзей на доске n X n

Государственный комитет Российской Федерации по высшему и среднеспециальному образованию

Красноярский Государственный Технический Университет

Курсовая работа

по курсу

Математическая логика и теория алгоритмов

Выполнил студент гр. ВТ27-4

Попов А.В.

Проверила:

Пестунова Т.М.

1998

Содержание.

1. Постановка задачи (стр.3).
2. Построение модели (стр.3).
3. Описание алгоритма (стр.4).
4. Доказательство правильности алгоритма (стр.7).
5. Блок-схема алгоритма (стр.8).
6. Описание переменных и программа (стр.9).
7. Расчёт вычислительной сложности (стр.11).
8. Тестирование (стр.11).
9. Список литературы (стр.12).

Постановка задачи.

Перечислить все способы расстановки n ферзей на шахматной доске n на n, при которых они не бьют друг друга.

Построение модели.

Очевидно, на каждой из n горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для k = 0, 1,...,n) произвольную расстановку k ферзей на k нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная 0-позиция, а из каждой k-позиции выходит n стрелок вверх в (k+1)-позиции. Эти n позиций отличаются положением ферзя на (k+1)-ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее.

Дерево позиций для n = 2

Данное дерево представлено только для наглядности и простоты представления для n=2.

Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те n-позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их.
Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то k-позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении.

Точнее, назовем k-позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции.

Описание алгоритма.

Разобьем задачу на две части: (1) обход произвольного дерева и (2) реализацию дерева допустимых позиций.

Сформулируем задачу обхода произвольного дерева. Будем считать, что у нас имеется Робот, который в каждый момент находится в одной из вершин дерева. Он умеет выполнять команды:

вверх_налево (идти по самой левой из выходящих вверх стрелок) вправо (перейти в соседнюю справа вершину) вниз (спуститься вниз на один уровень)

вверх_налево вправо вниз

и проверки, соответствующие возможности выполнить каждую из команд, называемые "есть_сверху", "есть_справа", "есть_снизу" (последняя истинна всюду, кроме корня). Обратите внимание, что команда "вправо" позволяет перейти лишь к "родному брату", но не к "двоюродному".

Будем считать, что у Робота есть команда "обработать" и что его задача
- обработать все листья (вершины, из которых нет стрелок вверх, то есть где условие "есть_сверху" ложно). Для нашей шахматной задачи команде обработать будет соответствовать проверка и печать позиции ферзей.

Доказательство правильности приводимой далее программы использует такие определения. Пусть фиксировано положение Робота в одной из вершин дерева.
Тогда все листья дерева разбиваются на три категории: над Роботом, левее
Робота и правее Робота. (Путь из корня в лист может проходить через вершину с Роботом, сворачивать влево, не доходя до нее и сворачивать вправо, не доходя до нее.) Через (ОЛ) обозначим условие "обработаны все листья левее
Робота", а через (ОЛН) - условие "обработаны все листья левее и над
Роботом".

Нам понадобится такая процедура:

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОЛ), надо: (ОЛН)} begin

{инвариант: ОЛ} while есть_сверху do begin вверх_налево end

{ОЛ, Робот в листе} обработать;

{ОЛН} end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, листья не обработаны надо: Робот в корне, листья обработаны

{ОЛ} вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОЛН, есть справа} вправо;

{ОЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; end; end;
{ОЛН, Робот в корне => все листья обработаны}

Осталось воспользоваться следующими свойствами команд Робота (сверху записаны условия, в которых выполняется команда, снизу - утверждения о результате ее выполнения):

1) {ОЛ, не есть_сверху} обработать {ОЛН}

2) {ОЛ} вверх_налево {ОЛ}

3) {есть_справа, ОЛН} вправо {ОЛ}

4) {не есть_справа, ОЛН} вниз{ОЛН}

Теперь решим задачу об обходе дерева, если мы хотим, чтобы обрабатывались все вершины (не только листья).

Решение. Пусть x - некоторая вершина. Тогда любая вершина y относится к одной из четырех категорий. Рассмотрим путь из корня в y. Он может: а) быть частью пути из корня в x (y ниже x); б) свернуть налево с пути в x (y левее x); в) пройти через x (y над x); г) свернуть направо с пути в x (y правее x);

В частности, сама вершина x относится к категории в). Условия теперь будут такими:

(ОНЛ) обработаны все вершины ниже и левее;

(ОНЛН) обработаны все вершины ниже, левее и над.

Вот как будет выглядеть программа:

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)} begin

{инвариант: ОНЛ} while есть_сверху do begin обработать вверх_налево end

{ОНЛ, Робот в листе} обработать;

{ОНЛН} end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, ничего не обработано надо: Робот в корне, все вершины обработаны

{ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОНЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа} вправо;

{ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; end; end;
{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны}

Приведенная только что программа обрабатывает вершину до того, как обработан любой из ее потомков. Теперь изменим ее, чтобы каждая вершина, не являющаяся листом, обрабатывалась дважды: один раз до, а другой раз после всех своих потомков. Листья по-прежнему обрабатываются по разу:

Под "обработано ниже и левее" будем понимать "ниже обработано по разу, слева обработано полностью (листья по разу, остальные по два)". Под
"обработано ниже, левее и над" будем понимать "ниже обработано по разу, левее и над - полностью".

Программа будет такой:

procedure вверх_до_упора_и_обработать

{дано: (ОНЛ), надо: (ОНЛН)} begin

{инвариант: ОНЛ} while есть_сверху do begin обработать вверх_налево end

{ОНЛ, Робот в листе} обработать;

{ОНЛН} end;

Основной алгоритм:

дано: Робот в корне, ничего не обработано надо: Робот в корне, все вершины обработаны

{ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать
{инвариант: ОНЛН} while есть_снизу do begin if есть_справа then begin {ОНЛН, есть справа} вправо;

{ОНЛ} вверх_до_упора_и_обработать; end else begin

{ОЛН, не есть_справа, есть_снизу} вниз; обработать; end; end;
{ОНЛН, Робот в корне => все вершины обработаны полностью}

Доказательство правильности алгоритма.

Докажем, что приведенная программа завершает работу (на любом конечном дереве).
Доказательство. Процедура вверх_налево завершает работу (высота Робота не может увеличиваться бесконечно). Если программа работает бесконечно, то, поскольку листья не обрабатываются повторно, начиная с некоторого момента ни один лист не обрабатывается. А это возможно, только если Робот все время спускается вниз. Противоречие.

Блок-схема алгоритма.

Описание переменных и программа.

Теперь реализуем операции с деревом позиций. Позицию будем представлять с помощью переменной k: 0..n (число ферзей) и массива c: array [1..n] of 1..n (c [i] - координаты ферзя на i-ой горизонтали; при i > k значение c [i] роли не играет). Предполагается, что все позиции допустимы
(если убрать верхнего ферзя, остальные не бьют друг друга).

program queens; const n = ...; var k: 0..n; c: array [1..n] of 1..n;

procedure begin_work; {начать работу} begin k := 0; end;

function danger: boolean; {верхний ферзь под боем} var b: boolean; i: integer; begin if k 0) and (c[k] < n); end;

{возможна ошибка: при k=0 не определено c[k]}

function is_down: boolean {есть_снизу} begin is_up := (k > 0); end;

procedure up; {вверх_налево} begin {k < n} k := k + 1; c [k] := 1; end;

procedure right; {вправо} begin {k > 0, c[k] < n} c [k] := c [k] + 1; end;

procedure down; {вниз} begin {k > 0} k := k - 1; end;

procedure work; {обработать} var i: integer; begin if (k = n) and not danger then begin for i := 1 to n do begin write (' '); end; writeln; end; end;

procedure UW; {вверх_до_упора_и_обработать} begin while is_up do begin up; end work; end;

begin begin_work;

UW; while is_down do begin if is_right then begin right;

UW; end else begin down; end; end; end.

Расчёт вычислительной сложности.
Емкостная сложность:

В программе используется одномерный массив размерности n, поэтому объём входа и объём выхода совпадают и равны n. Количество пременных равно
3(i,b,k) + 1(const n), т.е. объём промежуточных данных равен 4.
С(n)=n+4
Временная сложность:

Если рассматривать обработку каждого листа, без проверки на пути к нему, то временная сложность T(n) = n0+n1+n2+n3+…+nn .

Но в случае, когда каждая вершина проверяется, временная сложность T(n) = o(n0+n1+n2+n3+…+nn). И это тем вернее, чем больше n. Данный вывод получен на основе приведённых ниже статистических данных:

|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 | |Общее кол-во листьев |2 |7 |40 |341 |3906 |55987
|960800 | |Кол-во вершин построенного дерева. |2 |3 |4 |17 |54 |153 |552 |
|Время построения(сек) |