Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных да...
Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных да...
Самарский
государственный аэрокосмический университет
им. академика С.П. Королева
Кафедра прикладной математики
Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез»
Вариант № 15
Выполнил студент группы № 625
Евгений В. Репекто
Самара - 2002
Задание на расчетно-графическую работу
Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:
№
№
№
№
1
4
31
10
61
20
91
44
2
19
32
25
62
16
92
12
3
25
33
38
63
15
93
16
4
-4
34
1
64
32
94
9
5
58
35
19
65
52
95
12
6
34
36
55
66
-5
96
40
7
32
37
9
67
21
97
17
8
36
38
11
68
30
98
10
9
37
39
6
69
27
99
31
10
4
40
31
70
12
100
49
11
24
41
17
71
19
101
25
12
3
42
-6
72
1
102
33
13
48
43
14
73
23
103
26
14
36
44
9
74
7
104
19
15
27
45
13
75
4
105
25
16
20
46
25
76
16
106
34
17
1
47
11
77
38
107
10
18
39
48
18
78
40
108
24
19
11
49
2
79
30
109
2
20
16
50
29
80
14
110
38
21
49
51
20
81
51
111
30
22
25
52
48
82
17
112
10
23
26
53
16
83
25
113
39
24
30
54
29
84
34
114
1
25
19
55
12
85
23
115
40
26
32
56
-3
86
20
116
7
27
3
57
16
87
9
117
26
28
40
58
41
88
29
118
36
29
45
59
19
89
18
119
22
30
35
60
0
90
46
120
28
Все эти протокольные значения считаются значениями выборки
некоторой случайной величины , а 60 из них, имеющие нечетные номера – значениями выборки
другой случайной величины
Требуется:
1. Построить вариационные ряды для случайных величин и .
2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .
Образец заполнения таблицы для статистического ряда.
№ пр-ка
Границы промежутка
Середина промежутка
Количество элементов выборки в промежутке
Частота для промежутка
1
2
…
…
…
…
…
3. Построить гистограммы распределения случайных величин и .
4. Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные дисперсии: , случайных величин и .
5. Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости .
6. Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
7. Выполнить задание 6 для случайной величины .
8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .
9. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .
10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .
Решение
1. Построить вариационные ряды для случайных величин и .
Вариационный ряд величины
-6
12
22
33
-5
12
23
34
-4
12
23
34
-3
12
24
34
0
13
24
35
1
14
25
36
1
14
25
36
1
15
25
36
1
16
25
37
2
16
25
38
2
16
25
38
3
16
25
38
3
16
26
39
4
16
26
39
4
17
26
40
4
17
27
40
6
17
27
40
7
18
28
40
7
18
29
41
9
19
29
44
9
19
29
45
9
19
30
46
9
19
30
48
10
19
30
48
10
19
30
49
10
20
31
49
10
20
31
51
11
20
32
52
11
20
32
55
11
21
32
58
Вариационный ряд величины
1
21
2
22
2
23
3
23
4
24
4
25
6
25
9
25
9
25
10
26
10
26
11
26
11
27
12
27
12
30
13
30
14
31
15
32
16
37
16
38
16
38
17
39
17
40
18
44
19
45
19
48
19
49
19
51
20
52
20
58
2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .
Найдем количество элементов выборок после группировки элементов
Величина :
Величина :
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины
№ пр-ка
Границы промежутка
Середина промежутка
Количество элементов выборки в промежутке
Частота для промежутка
1
-8 ; 0
-4
4
0.0333
2
-0 ; 8
4
15
0.1250
3
8 ; 16
12
19
0.1583
4
16 ; 24
20
25
0.2083
5
24 ; 32
28
24
0.2000
6
32 ; 40
36
17
0.1417
7
40 ; 48
44
8
0.0667
8
48 ; 56
52
8
0.0667
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной величины
№ пр-ка
Границы промежутка
Середина промежутка
Количество элементов выборки в промежутке
Частота для промежутка
1
0; 9
4,5
7
0.1167
2
9 ; 18
13,5
16
0.2667
3
18 ; 27
22,5
19
0.3167
4
27 ; 36
31,5
6
0.1000
5
36 ; 45
40,5
6
0.1000
6
45 ; 54
49,5
5
0.0833
7
54 ; 63
58,5
1
0.0167
3. Построить гистограммы распределения случайных величин и .
Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими функциями распределения.
4. Найти выборочное среднее , и исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: , случайных величин и .
Выборочное среднее случайной величины равно
Выборочное среднее случайно величины равно
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины :
=14.3632
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение случайной величины :
=13.5727
5. Проверить, используя метод гипотезу о нормальном распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости .
Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины .
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
Построим вспомогательную таблицу:
1
4
-1.9169
4.2461
0.0606
0.014
2
15
-1.3600
10.5760
19.572
1.850
3
19
-0.8030
19.3161
0.0999
0.005
4
25
-0.2460
25.8695
0.7561
0.0292
5
24
0.3110
25.4056
1.9757
0.0778
6
17
0.8680
18.2954
1.6780
0.0917
7
8
1.4249
9.6610
2.7590
0.2856
8
8
1.9819
3.7409
18.139
4.8491
В итоге получим = 7,2035
По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим
Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
Для случайной величины :
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические частоты по формуле
, где - объем выборки, - шаг (разность между двумя соседними вариантами, ,
1
7
-1.4036
5.9274
1.1504
0.1941
2
16
-0.7405
12.0665
15.4725
1.2823
3
19
-0.0774
15.8248
10.0820
0.6371
4
6
0.5857
13.3702
54.3197
4.0627
5
6
1.2488
7.2775
1.6319
0.2242
6
5
1.9119
2.5519
5.9932
2.3485
7
1
2.5750
0.5765
0.1794
0.3111
В итоге получим = 8.1783
По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим
Т.к. , экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
6. Построить график функции плотности распределения случайной величины в одной системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
7. Выполнить задание 6 для случайной величины .
8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .
Найдем доверительный интервал для математического ожидания :
Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом:
Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
То есть: (20,93721;26,12946).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания :
Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим образом:
Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:
То есть: (20,043;27,056).
Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности имеет вид
Для случайной величины найдем:
.
Таким образом, имеем доверительный интервал: (162,8696; 273,8515).
Для случайной величины найдем
Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554).
(Квантили распределения найдены по таблице [3], стр. 413).
9. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости .
Рассмотрим статистику
,
где
,
которая имеет распределение Стъюдента ,
Тогда область принятия гипотезы .
Найдем s:
Найдем значение статистики :
По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)
Т. к. , то гипотеза принимается. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит результатам наблюдений.
10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости.
Рассмотрим статистику , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы
Найдем значение статистики :
По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза принимается. Предположение не противоречит результатам наблюдений.
Библиографический список
1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.
Перепечатка материалов без ссылки на наш сайт запрещена