Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности

Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности 1. Введение

Представляется соблазнительным попытаться измерить длину кривой с помощью измерительного циркуля, последовательно уменьшая его раствор, или измерить площадь поверхности с помощью все более и более мелкой триангуляции. Для обычных кривых такая процедура дает хороший результат. В то же время известно, что уже для обычных поверхностей (например, для цилиндра) возникают аномалии; основная аномалия проявляется в так называемом парадоксе площадей Шварца, который заслуживает широкой известности и будет обсуждаться ниже. Для самоподобных кривых эта процедура снова приводит к фрактальной размерности. Попытаемся использовать такую процедуру для самоаффинных фракталов и покажем, что размерности, к которым она приводит, отличаются от массовой и клеточной размерностей.

2. Измерение длины самоаффинных фрактальных кривых, являющихся графиками функций 2.1. Измерение длины с использованием «сосиски» Минковского дает локальную и глобальную размерности, совпадающие с DML и DMG

Следуя Минковскому и Булигану, определим приближенную длину кривой В(), используя «сосиску» Минковского, содержащую все точки на расстоянии, меньшем чем, от данной точки кривой. Для обычной спрямляемой кривой и при tс (например, когда единица измерения ВH достаточно мала) график по сути дела близок к горизонтальной линии. При передвижении измерительного циркуля вдоль кривой

он в основном остается параллельным оси t, и L() слабо меняется с изменением. Если считать, что L()~1-D, тогда то обстоятельство, что L() является константой, дает для глобальной размерности значение 1 независимо от Н.

Если, наоборот, > 1 или DBL при использовании измерительного циркуля. Может ли размерность D принимать значения, отличающиеся от этих двух величин?

5. Измерение площади самоаффинных фрактальных поверхностей, полученных из графиков функций 5.1. Площадь фрактального рельефа ВH (х, у), найденная с помощью «шарфа» Минковского

Мы возвращаемся к размерностям DBL и DBG.

5.2. Определение площади фрактального рельефа с помощью триангуляции

Выберем квадратные плитки с х=у = 1/b. Четыре вершины каждой плитки определяют четыре значения ВH и дают два способа аппроксимации небольшой части поверхности двумя «треугольниками-близнецами». Возьмем среднее из этих двух приближений для каждой ячейки и, кроме того, проведем усреднение по b2 ячейкам.

Грубая триангуляция. Если пренебречь деталями с размерами, меньшими чем критическое значение xc = ус, то в этом приближении моя броуновская модель рельефа Земли имеет

вполне определенную площадь, ненамного превышающую площадь проекции рельефа на идеализированную плоскость (или сферу).

Эта ситуация резко отличается от той, которая имела место для береговой линии.

Рассмотрим в качестве примера два негауссовских ландшафта (см. [2], вклейка С 13). Они получены из одного и того же гауссовского ландшафта с помощью нелинейных преобразований, в которых предполагалось, что величина tc очень мала для долины на верхнем рисунке С 13 и для плато на нижнем рисунке С 13, и в то же время величина tc очень велика для горной цепи на верхнем рисунке С 13 и в каньоне на нижнем рисунке. Далее, я уже указывал в своих лекциях, что хорошие взлетные полосы аэропортов неровны в той же степени, что и Гималаи, только их вертикальный масштаб значительно меньше. Теперь мы видим, что эти количественные различия приводят к качественным эффектам. Прежде всего, как подсказывают обычные наблюдения и здравый смысл, у аэропорта имеется вполне определенная площадь, даже при измерении самой точной линейкой. В Гималаях же обычные фотографии, снятые издалека, показывают, что «средний наклон» порядка /4. Это в свою очередь показывает, что в области переходного масштаба имеется ряд интересных деталей; поэтому различные измерения площади, полученные с различными линейками, меньшими чем tc, должны дать кривую, график которой в двойном логарифмическом масштабе будет заведомо отличаться от прямой.

Тонкая триангуляция. В этом случае площадь наверняка может быть произвольно большой, но как быстро она будет расти с уменьшением размера треугольников? Каждый из треугольников-близнецов в ячейке имеет длину ~ b-Hk и высоту ~b-k, он очень узкий, и его площадь ~b-(H+1)k. Полное число треугольников b2k = -2/(H+1) и приближенное значение площади () ~ 1-2/(H+1). Это соотношение аналогично выражению для длины кривой L() ~ 1-1-H, но здесь аномальная размерность равна 2/(H+1), а не 1/H.

Следующая сетка, которую мы рассмотрим, самоаффинна и включает (b'b'')k прямоугольников шириной b' -k я высотой b" -k, причем b' > b". Площадь каждого из треугольников теперь ~ ((b")-1(b')1-H)k, а аномальная размерность равна log(b'b")/log(b"b'H). Она может принимать значение между 2/(H+1) и 1/H,и это есть фрактальная форма парадокса площадей Шварца.