Шпаргалка: математика_Latvija_LLU

Шпаргалка: математика_Latvija_LLU

1.        Pamatjēdzieni par rindām: skaitļu rindas definīcija, rindas parciālsumma, konverģences definīcija.

 Par rindu sauc virknes (a1, a2, a3,..., an,... ) locekļu bezgalīgu summu.                                                                    an- rindas vispārīgais loceklis. Rindas parciālsumma-

Sn=a1+ a2+ a3+...+ an. Ja parciālsummai eksistē galīga robeža, kad n=>∞ tad saka, ka rinda konverģē, pretējā gadījumā rinda diverģē. Rindu sauc par konverģentu, ja tās parciālsumma virknei ir galīga robeža. Šo robežu sauc par konverģentas rindas summu. Ja parciālsummu nav galīgas robežas, tad rindu sauc par diverģentu. Diverģentai rindai nav summas.  2.Pozitīvu sk. rindu konverģences nepieciešamā pazīme. Sn=a1+ a1+...+ an-1+ an; Sn-1=a1+ a1+...+ an-1; an=Sn- Sn-1; Pieņēmums: rinda konverģē                    ;                                                                                     ja rinda konverģē, tad robeža kad n=>∞ ir 0.

2.        Pozitīvu sk. rindu konverģences pietiekamās pazīmes.

a) Salīdzināšanas pazīme:                 0≤an≤bn , a) ja rinda          konverģē =>         konverģē. b) ja rinda          diverģē =>        diverģē. c) ja                         , k≠±∞;k≠0, tad abas

rindas uzvedas vienādi. b) Dalambēra pazīme:                         , S<1 rinda k onverģē, S>1 rinda diverģē, S=1 pazīme nedod atbildi. c) Košī pazīme                   , S<1 rinda konverģē, S>1 rinda diverģē, S=1 jāņem cita pazīme. d) Integrālā pazīme:                     ,S=∞,0 rinda diverģē, citādi konverģē.

3.        Alternējošās rindas, Leibnica pazīme, absolūtā un nosacītā konverģē  nce.

Rindu sauc par alternējošu, ja jebkuriem rindas blakus locekļiem ir pretējas zīmes: u1-u2+u3-...+(-1)n-1un+..., kur burti u1,u2,u3,...apzīmē pozitīvus sk., ir maiņzīmju rindas. Leibnica pazīme: Maiņzīmju  rinda konverģē, ja tās locekļi tiecas uz nulli, visu laiku dilstot pēc absolūtās vērtības. Tādas rindas atlikumam ir tāsda pati zīme kā pirmajam atmetajam loceklim un tas ir mazāks par to pēc absolūtās vērtības. Rinda konverģē, ja izpildās divi nosacījumi: 1) an>an+1, 2)                 . Absolūtā un nosacītā konverģence: Rinda u1+u2+...+un+... (1) katrā ziņa konverģē, ja konverģē pozitīva rinda |u1|+|u2|+...+|un|+...  (2), kas sastādīta no dotās rindas locekļu absolūtajām vērtībām. Dotās rindas atlikums pēc absolūtās vērtības nepārsniedz atbilstošo rindas (2) atlikumu. Dotās rindas summa S pēc absolūtās vērtības nepārsniedz rindas (2) summu S’, t.i., |S|≤S’. Vienādība ir tikai tad, ja visiem rindas (1) locekļiem ir viena un tā pati zīme. Definīcijas: Rindu sauc par absolūti konverģentu, ja konverģē rinda, kas sastādīta no tās locekļu absolūtajām vērtībām. Rindu sauc par nosacīti konverģentu, ja tā konverģē, bet rinda, kas sastādīta no tās locekļu absolūtajām vērtībām, diverģē.

4.        Pakāpju rinda, tās konverģences intervāls, Ābela teorēma.Par pakāpju rindu sauc šāda veida rindu: a0+a1x+ a2x2+ ...+anxn+... (1) un arī vispārīgākā veidā: a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ ...+an(x-x0)n+... (2), kur x0 ir patstāvīgs lielums. Par rindu (1) saka, ka tā ir attīstīta pēc x pakāpēm, par rindu (2), ka tā attīstīta pēc x-x0 pakāpēm. Konstantes a0, a1,..., an,... sauc par pakāpju rindas koeficentiem. Pakāpju rinda vienmēr konverģē vērtībai x=0. Attiecībā uz konverģenci citos punktos var rasties trīs gadījumi: a) var gadīties, ka pakāpju rinda diverģē visos punktos, izņemot x=0. Tāda, piem, ir rinda x+22x2+33x3+...+nnxn+..., kurai vispārīgais loceklis nnxn=(nx)n pēc absolūtās vērtības neierobežoti aug, sākot ar momentu, kad nx kļūst lielāks par vienu. Tādām pakāpju rindām praktiskas nozīmes nav. b) Pakāpju rinda var konverģēt visos punktos. Tāda, piem, ir rinda: 1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+...+(xn-1/(n-1)!)+..., kuras summa jebkurai x vērtībai ir vienāda ar ex. c) Tipiskajā gadījumā pakāpju rinda vienā punktu kopā konverģē, citā-diverģē. Pakāpju rindas: a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+... konverģences apgabals ir kāds intervāls (-R;R), kas ir simetrisks attiecībā pret punktu x=0. Dažreiz tanī jāieskaita abi gali x=R, x=-R, dažreiz tikai viens, bet dažreiz abi gali jāizslēdz. Intervālu (-R;R) sauc par pakāpju rindas konverģences intervālu, pozitīvo sk. R par konverģences rādiusu. Ābela teorēma: Ja pakāpju rinda a0+ a1x+ a2x2+...+anxn+... konverģē (absolūti vai nosacīti) kādā punktā x0, tad tā konverģē absolūti un vienmērīgi jebkurā slēgtā intervālā (a,b), kas atrodas intervāla (-|x0|,+|x0|) iekšienē.

5.          Funkciju izvirzīšana pakāpju rindā. Teilora un Maklorena rinda.

Ja funkciju f(x) var izvirzīt pakāpju rindā a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ ...+an(x-x0)n+..., tad izvirzījums ir viens  vienīgs un rinda sakrīt ar Teilora rindu, kas attīstīta pēc x-x0. pakāpēm. Teilora rinda: Par Teilora rindu (kas attīstīta pēc x-x0 pakāpēm) funkcijai f(x) sauc pakāpju rindu: f(x0)+(f’(x0)/1)(x-x0)+ (f’’(x0)/2!)(x-x0)2+...+(fn(x0)/n!)(x-x0)n+..., ja x0=0, tad Teilora rindai (attīstītai pēc x pakāpēm) ir izskats: f(0)+(f’(0)/1)x+ (f’’(0)/2!)x2+...+(fn(0)/n!)xn+.... Maklorena rinda: Pamatojoties uz Teilora rindu:

6.        Pakāpju rindu lietojumi.

F-ju vērtības tuvināto aprēķināšana:                          1+(1/2)+ (1/8)+ (1/8*6)+ (1/16*2)+ (1/32*120)                   ,E=10-3. Robežu aprēķināšana: x=>0; ex~1+x; sinx~x;

cosx~1-(x2/2); (1+x)2~1+2x; ln(1+x)~x; arctgx~x. Integrāļu tuvināta aprēķināšanai:                    ; E=10-3;                                             ; Diferenciālvienādojums tuvināta atvasināšana:                              .

7.         Furjē rinda. Funkciju izvirzīšana Furjē rindā.

Furjē rinda: f(x)~(a0/2)+a1cosx+ b1sinx+ a2cos2x+ b2sin2x+...,                                          ;                                      . 

9. Divkāršā integrāļa definīcija un aprēķināšana Dekarta koordinātēs. D: Robeža uz kuru tiecas summa                                                                                                      ,kad lielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc par divkāršo integrāli no funkcijas f(x,y) pa apgabalu D. Apzīmējums
Apgabalu D, sauc par regulāru pēc x, ja novelkot jebkurā vietā līniju x=c, tā krusto apgabala D robežu ne vairāk , kā 2 reizes. Vispārregulārs – regulārs pēc x un y  Aprēķināšana Dekarta koordinātēs  ds=dxdy                                                            
10. Divkāršā integrāļa aprēķināšana polārajās koordinātēs.                                                                  f(x,y)=f(rcosj,rsinj)=F(r,j)  DS»Dr*rDj dS=r*dr*dj
11. Divkāršā integrāļa pielietojums.1.plaknes figūras lauk.       aprēķināšana  2. Tilpuma aprēķināšana z=z(x,y)  3. Plaknes figūras(nehomogēnas) aprēķināšana r=r(x,y)  4. Plaknes figūras masas centra aprēķināšana c(xc,yc) Ioy- statiskais moments attiecībā pret y asi  

12. Trīskāršā integrāļa definīcija un aprēķināšana Dekarta koor  dinātēs ,lietojumi. D: Pieņemsim, ka punkta P(x,y,z) funkcija f(x,y,z) ir nepārtraukta telpas apgabala D iekšienē un uz tā robežas. Sadalām D n daļās; to tilpumus apzīmēsim ar Dv1, Dv2,..., Dvn. Katrā daļā ņemsim punktu un sastādīsim summu Sn=f(x1,y1,z1) Dv1+ f(x2,y2,z2) Dv2+...+ f(xn,yn,zn) Dvn . Robežu uz kuru tiecas Sn , kad lielākais parciālo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc par funkcijas f(x,y,z) trīskāršo integrāli pa apgabalu D. Aprēķināšana  Lietojumi 1. Tilpuma aprēķināšana  2. Nehomogēna ķermeņa masas aprēķināšana
13. Pirmā veida līnijintegrāļi, to aprēķināšana, lietojumi.  1) y=y(x),   ,ja dota parametriski, tad  14. Otrā veida līnijintegrāļi, to aprēķināšana, lietojumi. 1) y=y(x), dy=y’dx   ,ja dots parametriski, tad   , ja līnija L ir noslēgta, tad Grīna formula  Līnijintegrāļu pielietojums 1)darba apr. 2) līnijas loka garumu apr.  3)masu nehomogēnai līnijai apr. 15. Pirmā veida virsmas integrāļi, to aprēķināšana, lietojumi.  ,aprēķina šķidruma plūsmu caur virsmu  16. Otrā veida virsmas integrāļi, to aprēķināšana, lietojumi.    aprēķina šķidruma plūsmu caur virsmu

17.Skalārais lauks. Atvasinājums dotajā virzienā.

Ja katra apgabala d punktam, katrā laika momentā t, pēc noteikta likuma piekārtu funkciju u, tad saka, ka ir dots skalārs lauks u=u(x,y,z,t) (1)

Ja f-ja nav atkarīga no t, tad lauku sauc par stacionāru u=u(x,y,z) (2) Atvasinājums dotajā virzienā lim(3)   

u=u(x,y,z) u(M0) , u(M)   Du= u(M)-u(M0)   18. Skalāra lauka gradients, tā fizikālā nozīme. Vektoru kura virzienā skalārā lauka izmaiņas ātrums ir vislielākais, sauc par skalārā lauka gradientu grad u 19. Vektoru lauks. Vektoru lauka plūsma, tā fizikālā nozīme. Ja kādā telpas apgabalā katram punktam, katrā laika momentā t ir piekārtots noteikts vektoriāls lielums, tad saka ka ir dots vektoriāls lauks Par vektoru lauka a plūsmu caur virsmu S sauc virsmas integrāli   (1)     (2)  20. Vektoru lauka diverģence, tās fizikālā nozīme.  Par vektoru lauka diverģenci sauc robežu no plūsmas un tilpuma attiecības, kad apgabala diametrs tiecas uz 0    (1)  (2)

21.Vektoru lauka cirkulācija, tās aprēķināšana. Par vektoru lauka cirkulāciju sauc līnijintegrāli pa slēgtu līniju.(3) 22. Vektoru lauka rotors, tā fizikālā nozīme. Par vektoru lauka a rotoru sauc sekojošo determinantu.   

(3) 23. Potenciāls lauks. Vektoru lauku a sauc par potenciālu, ja tas ir vienāds ar kāda skalārā lauka gradientu

25.Stīgas svārstību vienādojums. d2u/dt2=a2*d2u/dx2 –stīgas sv. vien. Atrisinājums

26.Siltumvadīšanas vienādojums. d2u/dt=a2*d2u/dx2 –silt.vad. vien.

27. Parciālie diferenciālvienādojumi, Košī problēma, Dirihlē problēma, jaukta veida problēma