Шпаргалка по геометрии и алгебре
Шпаргалка по геометрии и алгебре
Т.Сумма смежных углов = 180°
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Признаки параллельности прямых. Е
А В В А А В
С Д Д
Д С С
ÐВАС ÐДСА внутр. одностор. (1рис)
ÐВАС ÐДСА внутр. накрест лежащ. (2)
ÐЕАВ ÐАСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны.
Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,ðпрямые| |.
Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Ð1=Ð2
Но Ð1=Ð3 (вертикальные)ðÐ3=Ð2.Но Ð2 и Ð3-накрестлежщие.ðПо Т 1 a | | bn
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð=180°, то прямые | |n
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой, то внутр.накрестлеащие Ð=, со-
ответств.Ð=, сумма внутр.одностÐ=180°.
Перпедикулярные пр-е пересек-ся Ð90°.
1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1.
3. две прямые ^ 3-й параллельны.
4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой.
Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке -
центр впис. Круга.
4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон Ñ, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.
5. Средняя линия | | и = ½ основания
H(опущ. на стор. a) = 2√p(p-a)(p-b)(p-c)
a
M(опущ на стор a) = ½ √ 2b2+2c2 -a2
B (-‘’-)= 2√ bcp(p-a) / b+c
p - полупериметр
a²=b²+c²-2bx, х-проекция 1-й из сторон
Признаки равенства Ñ: 2Ñ=, если = сотв.
1. 2 стороны и Ð между ними.
2. 2 Ð и сторона между ними.
3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1-му из Ð
4. три стороны
5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них.
Прямоугольный Ñ C=90° a²+b²=c²
NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний Ñ H= √3 * a/2
S Ñ= ½ h a =½ a b sin C
Параллелограмм
d²+d`²=2a²+ 2b²
S =h a=a b sinA(между а и b)
= ½ d d` sinB (между d d`)
Трапеция S= (a+b) h/2 =½uvsinZ= Mh
Ромб S=a h =a²sinA= ½ d d`
Окружность L= pRn° / 180°,n°-центрÐ
Т.Впис.Ð= ½ L , L-дуга,на ктрую опирÐ
S(cектора)= ½ R²a= pR²n° / 360°
Векторы.. Скалярное произведение
`а`b=|`a| |`b| cos (`a Ù`b),
|`a| |`b| - длина векторов
Скалярное произведение |`a|{x`; y`} и |`b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, =
|`a| |`b| = x` × y` + x`` × y``
Преобразование фигур
1. Центр. Симметрия
2. Осевая симметрия (^)
3. Симм. Отн-но плоскости (^)
4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
- все точки оси переходят сами в себя
- любая точка АÏ оси р АðА` так, что
А и А` Î a, a^р, ÐАОА` = j= const, О- точка пересеч. a и р.
Результвт 2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос (x,y,z)ð(x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 - движение.
Св-ва подобия.
1. АВСÎ(а); A`B`C` Î(a`)
2. (p) ð (p`); [p)ð[p`); aða`; ÐAðÐA`
3. Не всякое подобие- гомотетия
NB! S` = k² S``; V ` = k 3 V ``
Плоскости.
Т. Если прямая, Ï к.-л. плоскости a , | | к.-л. прямой, Î a, то она | | a
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b, то a | | b.
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак ^ прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, ^каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^.
Т. 2 ^ к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости.
Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти.
Дано [a)^ b,[a) Îa,a Èb= (p).Д-ть: a ^ b
Док-во. [a)^ b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Ù(b) - линейный Ð двугранного угла между a и b. Так как [a)^ bð(a)^(b)ð (a)Ù(b)=90°ða ^ bn
Т. Если 2 пл-сти взаимно ^, то прямая
1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.
Т. О 3-х ^.. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.
Многогранники
Призма. V = S осн × a - прямая призма
a - боковое ребро , S пс- S ^-го сечения
V = S пс × а - наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ.
Фигуры вращения
Цилиндр V=pR²H; S= 2pR (R+H)
Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pR²H
S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); L-образующая
Сфера «оболочка» S= 4pR²
Шар М= 4/3 pR3
ARCSIN a
-p/2£arcsin a £p/2 sin(arcsin a)=a
arcsin (-a)= -arcsin a
a
0
1/2
Ö2/2
Ö3/2
1
arcsin a
0
p/6
p/4
p/3
p/2
SIN X= A
x=(-1)n arcsin a +pk
sin x=0
x=pk
sin x=1
x=p/2+2pk
sin x=-1
x=-p/2+2pk
ARCCOS a
0 £arccos a £p cos(arccos a)=a
arccos (-a)=p -arccos a
a
0
1/2
Ö2/2
Ö3/2
1
arccos a
p/2
p/3
p/4
p/6
0
COS X= A
x=± arccos a +2pk
cos x=0
x=p/2+pk
cos x=1
x=2pk
cos x=-1
x=p+2pk
ARCTG a
-p/2£arctg a £p/2 tg(arctg a)=a
arctg (-a)= -arctg a
a
0
Ö3/3
1
Ö3
tg a
0
p/6
p/4
p/3
TG X= A
x=± arctg a +pk
sina*cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)]
sina*sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
cosa*cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]
sina*cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)]
sina*sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
cosa*cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]
sina+sinb=2sin(a+b)/2 * cos(a-b)/2
sina-sinb=2sin(a-b)/2 * cos(a+b)/2
cosa+cosb=2cos(a+b)/2 * cos(a-b)/2
cosa-cosb=-2sin(a+b)/2 * sin(a-b)/2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2+2ab+b2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
a2-b2=(a-b)(a+b)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+ b2)
0
p/6
p/4
p/3
p/2
p
2/3p
3/4p
5/6p
3/2p
0
30°
45°
60°
90°
180
120°
135°
150°
270°
sin
0
1/2
Ö2/2
Ö3/2
1
0
Ö3/2
Ö2/2
1/2
-1
cos
1
Ö3/2
Ö2/2
1/2
0
-1
-1/2
-Ö2/2
-Ö3/2
0
tg
0
1/Ö3
1
Ö3
-
0
-Ö3
-1
-1/Ö3
-
ctg
-
Ö3
1
1/Ö3
0
-
-1/Ö3
-1
-Ö3
0
sin2+cos2=1 sin=±Ö1-cos2 sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga
tg•ctg=1 cos=±Ö1-sin2 cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga
tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2
sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2a=2sina•cosa
cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2a=cos2 a-sin2 a
cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga
cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin3a
cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos3a-3cosa
sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb
sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb
2cos2a/2=1+cosa 2sin2a/2=1-cosa
0
p/6
p/4
p/3
p/2
p
2/3p
3/4p
5/6p
3/2p
0
30°
45°
60°
90°
180
120°
135°
150°
270°
sin
0
1/2
Ö2/2
Ö3/2
1
0
Ö3/2
Ö2/2
1/2
-1
|
1
Ö3/2
Ö2/2
1/2
0
-1
-1/2
-Ö2/2
-Ö3/2
0
tg
0
1/Ö3
1
Ö3
-
0
-Ö3
-1
-1/Ö3
-
ctg
-
Ö3
1
1/Ö3
0
-
-1/Ö3
-1
-Ö3
0
sin2+cos2=1 sin=±Ö1-cos2 sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga
tg•ctg=1 cos=±Ö1-sin2 cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga
tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2
sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2a=2sina•cosa
cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2a=cos2 a-sin2 a
cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga
cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin3a
cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos3a-3cosa
sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb
sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb
sin(2p-a)=-sina sin(3p/2-a)=-cosa
cos(2p-a)=cosa cos(3p/2-a)=-sina
tg(2p-a)=-tga tg(3p/2-a)=ctga
sin(p-a)=sina ctg(3p/2-a)=tga
cos(p-a)=-cosa sin(3p/2+a)=-cosa
sin(p+a)=-sina cos(3p/2+a)=sina
cos(p+a)=-cosa tg(p/2+a)=-ctga
sin(p/2-a)=cosa ctg(p/2+a)=-tga
cos(p/2-a)=sina sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)[Ñ.Ê.Â.1] /2
tg(p/2-a)=ctga sina-sinb=2sin(a-b)/2*cos(a+b)[Ñ.Ê.Â.2] /2
ctg(p/2-a)=tga cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2
sin(p/2+a)=cosa cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2
cos(p/2+a)=-sina
Y = S I N x
1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1]
3).Периодическая с периодом 2p
4).Нечётная; sin (-x)=-sin x
5).Возрастает на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ
Убывает на отрезках [p/2+2pk;3p/2+2pk], kÎZ
6).Наибольшее значение=1 при х=p/2+2pk, kÎZ
Наименьшее значение=-1 при х=-p/2+2pk, kÎZ
7).Ноли функции х=pk, kÎZ
8).MAX значение=1 х=p/2+2pk, kÎZ
MIN значение=-1 х=-p/2+p+2pk, kÎZ
9).x>0 на отрезках [2pk;p+2pk], kÎZ
x<0 на отрезках [p+2pk;2p+2pk], kÎZ
Y = C O S x
1).ООФ D(y)=R 2).ОДЗ E(y)=[-1;1]
3).Периодическая с периодом 2p
4).Чётная; cos (-x)=cos x
5).Возрастает на отрезках [-p+2pk;2pk], kÎZ
Убывает на отрезках [2pk;p+2pk], kÎZ
6).Наибольшее значение=1 при х=2pk, kÎZ
Наименьшее значение=-1 при х=p=2pk, kÎZ
7).Ноли функции х=p/2+pk, kÎZ
8).MAX значение=1 х=2pk, kÎZ
MIN значение=-1 х=p+2pk, kÎZ
9).x>0 на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ
x<0 на отрезках [-p/2+2pk;p/2+2pk], kÎZ
Y = T G x
1).ООФ D(y)-все, кроме х=p/2+pk kÎZ
2).ОДЗ E(y)=R
3).Периодическая с периодом p
4).Нечётная; tg (-x)=-tg x
5).Возрастает на отрезках (-p/2+pk;p/2+pk), kÎZ
6). Ноли функции х=pk, kÎZ
7). x>0 на отрезках (pk;p/2+pk), kÎZ
x<0 на отрезках (-p/2+pk;pk), kÎZ
Перепечатка материалов без ссылки на наш сайт запрещена