Статистическое исследование количества потребляемой электроэнергии

Статистическое исследование количества потребляемой электроэнергии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ГОУ ВПО ИГУ)

 

 

Физический факультет

 

 

 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

 

Выполнил студент гр. 1322

Конусов Н.Ю.

 

Иркутск 2007

Проводилось статистическое исследование количества потребляемой электроэнергии  в течение каждого часа в дневное время на протяжении пяти дней в двухкомнатной квартире. Объем выборки n=90.

	1 Время Показания счетчика кВт * час Потребление кВт * час 5:00 30122,84 6:00 30122,93 0,09 7:00 30123,01 0,08 8:00 30123,19 0,18 9:00 30123,35 0,16 10:00 30123,75 0,40 11:00 30124,12 0,37 12:00 30124,67 0,55 13:00 30124,77 0,10 14:00 30124,97 0,20 15:00 30125,31 0,34 16:00 30125,48 0,17 17:00 30125,71 0,23 18:00 30126,23 0,52 19:00 30126,72 0,49 20:00 30127,34 0,62 21:00 30127,66 0,32 22:00 30128,17 0,51 23:00 30128,49 0,32
2
Время	Показания счетчика кВт * час	Потребление кВт * час
5:00	30130,26
6:00	30131,31	1,05
7:00	30131,86	0,55
8:00	30131,91	0,05
9:00	30131,97	0,06
10:00	30132,16	0,19
11:00	30132,58	0,42
12:00	30132,95	0,37
13:00	30133,58	0,63
14:00	30133,92	0,34
15:00	30134,17	0,25
16:00	30134,34	0,17
17:00	30134,55	0,21
18:00	30135,02	0,47
19:00	30135,40	0,38
20:00	30135,94	0,54
21:00	30136,56	0,62
22:00	30136,86	0,30
23:00	30136,88	0,02

 

3
Время	Показания счетчика кВт * час	Потребление кВт * час
5:00	30137,17
6:00	30137,25	0,08
7:00	30137,31	0,06
8:00	30137,58	0,27
9:00	30137,74	0,16
10:00	30137,86	0,12
11:00	30138,12	0,26
12:00	30138,82	0,70
13:00	30139,49	0,67
14:00	30139,82	0,33
15:00	30140,20	0,38
16:00	30141,77	1,57
17:00	30143,12	1,35
18:00	30143,57	0,45
19:00	30144,32	0,75
20:00	30145,00	0,68
21:00	30145,53	0,53
22:00	30145,84	0,31
23:00	30147,17	1,33

4

Время

Показания счетчика кВт * час

Потребление кВт * час

5:00

30148,61

6:00

30148,68

0,07

7:00

30148,80

0,12

8:00

30148,88

0,08

9:00

30149,40

0,52

10:00

30150,32

0,92

11:00

30150,95

0,63

12:00

30151,10

0,15

13:00

30151,30

0,20

14:00

30151,67

0,37

15:00

30151,77

0,10

16:00

30152,16

0,39

17:00

30152,38

0,22

18:00

30153,00

0,62

19:00

30153,56

0,56

20:00

30154,29

0,73

21:00

30155,14

0,85

22:00

30155,66

0,52

23:00

30155,96

0,30

 

5

Время

Показания счетчика кВт * час

Потребление кВт * час

5:00

30157,52

6:00

30157,55

0,03

7:00

30158,01

0,46

8:00

30158,15

0,14

9:00

30158,67

0,52

10:00

30159,59

0,92

11:00

30160,79

1,20

12:00

30161,20

0,41

13:00

30161,40

0,20

14:00

30161,77

0,37

15:00

30162,23

0,46

16:00

30162,57

0,34

17:00

30162,79

0,22

18:00

30163,41

0,62

19:00

30163,97

0,56

20:00

30164,70

0,73

21:00

30165,55

0,85

22:00

30165,98

0,43

23:00

30166,28

0,30

ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

1. Точечный вариационный ряд. Распределение xi по частотам ni.

xi

0

0,02

0,03

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0,12

0,14

0,15

0,16

0,17

ni

0

1

1

1

2

1

3

1

2

2

1

1

2

2

0,18

0,19

0,2

0,21

0,22

0,23

0,25

0,26

0,27

0,3

0,31

0,32

0,33

0,34

0,37

1

1

3

1

2

1

1

1

1

3

1

2

1

3

4

0,38

0,39

0,4

0,41

0,42

0,43

0,45

0,46

0,47

0,49

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

4

1

1

2

0,56

0,62

0,63

0,67

0,68

0,7

0,73

0,75

0,85

0,92

1,05

1,2

1,33

1,35

1,57

2

4

2

1

1

1

2

1

2

2

1

1

1

1

1

Переход к группированным выборочным данным.

xmin = 0,02         xmax = 1,57.     Диапазон [xmin ; xmax] разбиваем на k равных интервалов. Воспользуемся формулой  k = log 2 n + 1. k = 7.

Вариационный размах R = xmax - xmin = 1,55.       Длина интервала h = R / k = 0,221.

Интервальный ряд 

Ci – C i+1

0,02 – 0,241

0,241 – 0,463

0,463 – 0,684

0,684 – 0,906

0,906 – 1,127

1,127 – 1,349

1,349– 1,570

n*i

29

27

21

6

3

2

2

Равноточечный ряд по частотам         

x*i

0,131

0,352

0,574

0,795

1,016

1,238

1,459

n*i

29

27

21

6

3

2

2

Равноточечный ряд по относительным частотам    ;    

x*i

0,131

0,352

0,574

0,795

1,016

1,238

1,459

w i

29/90

27 / 90

21 / 90

6 / 90

3 / 90

2 / 90

2 / 90

w i

0,3222

0,3000

0,2333

0,0667

0,0333

0,0222

0,0222

Равноточечный ряд по накопительным частотам

x*i

0,131

0,352

0,574

0,795

1,016

1,238

1,459

m*i

29

56

77

83

86

88

90

ГРАФИКИ

x*i

n*i

n*i

m*i

x*i

3. Построение эмпирической функции распределения

F* = nx / n   , где nx – число элементов выборки (объема n), меньших, чем x.

x*i

0,130714

0,352143

0,573571

0,795

1,016429

1,237857

1,459286

F*

0,322222

0,622222

0,855556

0,922222

0,955556

0,977778

1

4. Числовые характеристики выборки     по ряду

x*i

0,131

0,352

0,574

0,795

1,016

1,238

1,459

n*i

29

27

21

6

3

2

2

а)  Выборочные среднее и дисперсия

< xв > = (1 / n) ´ å( xi ´ ni ) = 0,43

Dв = (1 / n) ´ å( xi - < xв >)2 ´ ni  = 0,0955                     sn = 0,309 = Dв2

б)  Мода – значение, которое чаще всего встречается в данном вариационном ряду.

xmod = 0,370

в)  Медиана – средневероятное значение.

xmed = 0,385

г)  Асимметрия

1,297

д)  Эксцесс

2,338

5.  Оценка близости выборочных наблюдений к нормальному закону

Положительная асимметрия говорит о том, что «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания, а положительный эксцесс – о том, что кривая распределения имеет более высокую и острую вершину, чем кривая нормального распределения.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ

1. Несмещенная оценка математического ожидания – выборочное среднее.

           _

M X = x = 0,4284

Несмещенная дисперсия – исправленная выборочная дисперсия.

0,096541

2. Построение доверительных интервалов для матожидания и дисперсии при неизвестных параметрах нормального закона с доверительной вероятностью, равной  γ = 0,95 и 0,99.

а) γ=0,95           n = 90

МХ

=1,987

  0,3633  < MX < 0,4953

Дисперсия

α=1-γ=0,05;

 64,793

116,989

0,073< < 0,133

б) γ=0,99           n = 90

МХ

=2,633

  0,3420 < MX < 0,515

Дисперсия

α=1-γ=0,01;

 

116,989

0,068 < < 0,147

3.  Используя таблицу случайных чисел получить 50 равномерно распределенных чисел из интервала (0; 10)      X~R(a,b)

 

 

 

Вариационный ряд

1

2

Xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

2

ni

6

11

7

5

4

3

2

8

4

2

5

 

 

4

6

 

 

1

5

 

 

2

1

 

 

5

2

 

 

2

8

 

 

3

3

 

 

8

1

 

 

8

3

 

 

8

9

 

 

1

4

 

 

2

9

 

 

4

6

 

 

9

3

 

 

5

9

 

 

2

3

 

 

4

7

 

 

3

2

 

 

6

8

 

 

1

2

 

 

8

3

 

 

7

8

 

 

8

4

 

 

Интервальный ряд

Ci-Ci+1

0-2

2-4

4-6

6-8

8-10

ni*

17

12

7

10

4

Точечный ряд

xi*

1

3

5

7

9

ni*

17

12

7

10

4

xi*ni*

17

36

35

70

36

(xi*)2ni*

17

108

175

490

324

Методом моментов найдем оценки неизвестных параметров равномерного распределения:

Метод моментов заключается в приравнивании определенного числа выборочных моментов к соответствующим теоретическим моментам.

X~R(a,b)

f(x) = 1 / (b - a), если x Î [a; b]

f(x) = 0 , в противном случае

Þ     ,а   

Получим систему уравнений

                         

                        

b=7,76-a

a2+a(7.76-a)+60.2176-15.52a+a2=66.84

a2+7.76a-a2-15.52a+a2-6.6224=0

a2-7.76a-6.6224=0

D=60.2176-26.4896»33.728

Возможна пара решений

a = 6,7838       b = 0,9762

a = -0,9762     b = 8,7362

4. Методом максимального правдоподобия найдем точечную оценку параметра λ распределения Пуассона

X ~ П (λ) 

 P(X=k) =

Функция  правдоподобия:

L=

Ln L(λ)=

Уравнение правдоподобия:

              =>              =>                       

Докажем несмещенность:

        

Докажем сосотоятельность: 

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

1.   Пусть случайная величина X~N(a,), причем параметры распределения неизвестны.

а)  Проверим нулевую гипотезу H0: для , если альтернативная гипотеза H1: .

 Найдем наблюдаемое значение критерия:

.

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид первого случая, поэтому критическая область правостороння, по уровню значимости равному 0,05 и числу степеней свободы, находим критическую точку , при . Так как  – есть основание отвергнуть гипотезу.

б) Далее проверим следующую нулевую гипотезу если альтернативная гипотеза . Уровень значимости принимается

Для этого вычислим наблюдаемое значение критерия:

По таблице критических точек распределения Стъюдента имеем :

Т.е. получилось, что , следовательно, нулевая гипотеза