Стохастическая диффузионная модель гетерогенных популяций

Стохастическая диффузионная модель гетерогенных популяций

Тема дипломной работы: «Стохастическая диффузионная модель гетерогенных популяций»

      Во многих работах были рассмотрены модели, описывающие процессы размножения и гибели в больших однородных популяциях.

      В данной работе мы на основе  модели и её компьютерной реализации мы  исследуем  развитие и взаимодействие двух популяций клеток в условиях резкого изменения параметров окружающей среды. Эволюцию популяций рассматриваем в терминах процессов размножения и гибели в случайной среде функционального типа.

2.1      Построение модели окружающей среды     

      В качестве параметра окружающей среды мы рассматривали температуру.

      Пусть процесс  - процесс со скачками, значения которого имеют  смысл средней температуры, т.е. определяют климат. Траектории процесса  представляют собой кусочно-постоянные функции и в любой момент времени t процесс  может принимать одно из трёх значений: , что соответствует ледниковому, нормальному и тропическому климату. Процесс  имеет длинные интервалы постоянства, что означает стабильность климата. Скачок процесса  определяет смену климата.

      Описанный процесс может быть представлен в виде:

                                                             (1)

где константа ,  и  независимые пуассоновские процессы с интенсивностью скачков .

 процесс  представляет текущие  значения температуры среды, в которой  происходит  развитие  популяций:

                                             ,                                               (2)

где  из  (1),  - стандартный винеровский процесс,  - коэффициент диффузии. Наличие отрицательной обратной связи с параметром , не позволяет значениям процесса  ²отходить далеко²  от значений процесса  , т.е. после скачка  (изменения средней температуры), включается механизм обратной связи и значения процесса  сразу следуют за изменением значения процесса . Интервал разброса значений процесса  относительно значений процесса  определяется параметрами    и . Он равен  (равно 1, если ) т.е. вероятность, что процесс  выйдет из интервала  мала)

2.2    Описание процессов эволюции популяций

      Полагаем, что в построенных климатических условиях развиваются две популяции клеток  и .

     Каждую популяцию  мы разобьём на множество групп следующим образом: интервал возможных температур  разобьём на  подинтервалов длиной , т.е. . Каждому подинтервалу температур присвоим номер , .  -  -ая группа популяции , для которой температура из соответствующего подинтервала является благоприятной для развития, т.е. если текущая температура окружающей среды находится в -ом подинтервале, то интенсивность смерти клеток в группе  снижается. Процессы  - определяют число клеток в группе

                                                                                                           (3)

      Деление клетки в группе  определяется скачком точечного процесса , с компенсатором :                 (4)

      Гибель клетки в группе  определяется скачком точечного процесса  с компенсатором : ,      (5)

где  – неотрицательная, симметричная и монотонная на интервалах  и  функция.

Предположим, что возможны следующие ситуации при делении клетки группы :

1.      с вероятностью  могут образоваться две клетки в группе ,

2.      с вероятностью  могут образоваться две клетки в группе ,

3.      с вероятностью  могут образоваться две клетки в группе ,

4.      с вероятностью  могут образоваться две клетки в группе ,

Для описания процессов развития в группах введем ,  ,- последовательности независимых случайных величин с распределением:  "t³0, l=(1, 2, 3, 4).

      Теперь численность клеток в группе в каждый момент времени опишем следующим образом:

           +,               (6)

начальная численность группы  -  константа.

     При моделировании развития популяций рассматривали процесс :

                                                            ,                                                     (7)

значения которого имеют смысл средней температуры благоприятной для популяции и выражают степень её адаптации к климату (чем меньше величина ½½, тем больше популяция i приспособлена к климату).

3         Выбор параметров моделирования.

   Выберем параметры интенсивности деления и гибели клеток популяции N1 таким образом, чтобы численность возрастала при нормальном климате и уменьшалась при его изменении,  для второй популяции N 2 выберем параметры таким образом, чтобы численность клеток уменьшалась даже при нормальном климате.

Вектора переходных вероятностей определим исходя из следующих соображений: для первой популяции в случае отсутствия взаимодействия положим , что характеризует популяцию слабой степенью приспосабливаемости к изменению окружающей среды (т.е. вероятности перехода  и  клетки при делении из группы   в соседние группы и  относительно малы). В случае взаимодействия популяций . Для второй популяции определим вектора переходных вероятностей как  и  соответственно при наличии и отсутствии мутаций между популяциями. Такие значения соответствуют высокой степени приспосабливаемости популяции к изменению окружающей среды.

4    Компьютерное моделирование.

      Основной вопрос: как влияет взаимодействие видов (мутация) на динамику численности популяций.

  Сначала рассматривали динамику популяций и фиксировали их характеристики при условии, что они не взаимодействуют, затем при тех же параметрах окружающей среды рассматривали их эволюцию при условии, что возможны мутации клеток из одной популяции в другую.

      Развитие без мутаций : Среднее время гибели первой популяции составляет 223.74, второй популяции – 59.35 (усреднение производилось по результатам наблюдения 100 реализаций процессов динамики численности популяций ).

      Развитие с мутациями :Среднее время гибели второй популяции составляет 143.21.Первая популяция достаточно хорошо приспособилась к новому  климату, что и позволило ей выжить и далее нормально развиваться.

      Результаты компьютерного моделирования показали, что в данной модели эволюции гетерогенных популяций взаимодействие видов благоприятно сказывается на продолжительность жизни популяций при резком изменении климата.

      Клетки популяции с высокой степенью адаптации к смене окружающей среды, но погибающей даже при нормальном климате, возобновляются за счет клеток популяции, которая имеет низкий уровень адаптации, но в то же время хорошо развивается при нормальных условиях, и наоборот. Этот механизм позволяет популяциям существенно продлить время своей жизни.

5     Диффузионная аппроксимация.

    При  большом количестве клеток в популяциях интенсивности  размножения и гибели очень велики. В этом случае моделирование точечных процессов, описывающих динамику численности оказывается очень трудным. Трудности связаны с экспоненциальным увеличением времени счета и с компьютерными генераторами случайных чисел.  Поэтому была построена диффузионная аппроксимация процессов эволюции популяций при , где - начальная численность, в случае отсутствия взаимодействия между популяциями.