Теория цепных дробей

Теория цепных дробей

Теория цепных дробей Содержание

Введение

Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями

§2. Подходящие дроби. Их свойства

Глава II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями

1.1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь

1.2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей

1.3. Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью

§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя

2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью

2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями

2.3. Теорема Дирихле

2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения

§3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби

§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида

Решение задач

Заключение

Используемая литература

Введение

Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.

Глава I. Правильные конечные цепные дроби. §1. Представление рациональных чисел цепными дробями.

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием b>>>…>>0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

из которой последовательной заменой каждой из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде:

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что – целое число, а , …, - натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

Согласно последнему обозначению имеем

Числа , , …, называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было .

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что .

Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при :

так что представление можно удлинить:

например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Принимая условие , можно утверждать, что целая часть цепной дроби равна ее первому неполному частному . В самом деле:

если n=1, то если n=2, то ; поэтому если n>2, то

=

где >1, т.к.

Поэтому и здесь . Докажем то, что рациональное число однозначно представляется цепной дробью , если .

Пусть с условием , . Тогда , так что . Повторным сравнением целых частей получаем , а следовательно и так далее. Если , то в продолжении указанного процесса получим также . Если же , например , то получим , что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

Замечания:

В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент , например, . При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример: , а так как , то .

Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

Пример: 5=(5); .

§2. Подходящие дроби. Их свойства.

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь .

При этом основную роль играют дроби вида:

или

которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .

Заметим, что ==. Считается, что подходящая дробь имеет порядок k.

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в , если в первой заменить выражением .

Имеем ,

,

, …,

при этом принимается, что , , , , , и так далее.

Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для (ее числителя и знаменателя ), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе от k к (k+1).

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где , имеем

(1),

причем (2)

(3)

Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму .

Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают. Последовательное вычисление числителей и знаменателей подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:

Наш опрос Как Вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Не помог Результаты опроса Реклама   Мнение авторов может не совпадать с мнением редакции сайта Перепечатка материалов без ссылки на наш сайт запрещена