Техника интегрирования и приложения определенного интеграла

Техника интегрирования и приложения определенного интеграла

Контрольная работа

по теме «Техника интегрирования и приложения определенного интеграла»

№ 314

Найти неопределенные интегралы:

 

 

 

№ 335

Найти определенный интеграл:

 

 

 

 

№ 356

Найти:

1.        точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница;

2.        приближенное значение интеграла по формуле трапеций, разбивая отрезок интегрирования на 8 равных частей и производя вычисления с округлением до 4 десятичных знаков;

3.        относительную погрешность.

Решение:

1. 

 

 

2. 

 

, где

 

	3,8030

 

 

№ 377

  

 

Пределы интегрирования по x от 0 до 4:

 

 

 

Пределы интегрирования по y от 0 до 8:

 

 

Координаты центра тяжести данной фигуры (2,4; 4,6).

№ 398

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

 

 

 

 

 

 

Несобственный интеграл вычислен и равен 1, следовательно он сходится.

№451

1.                 построить на плоскости хОу область интегрирования;

2.                 изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования;

 

Решение:

1.                 Пределы внешнего интеграла по переменной х – числа 1 и 5 указывают на то, что область D ограничена слева прямой х = 1 и справа х = 5.

Пределы внутреннего интеграла по переменной у – указывают на то, что область D ограничена снизу параболой  и сверху линией .

2.                 Чтобы изменить порядок интегрирования, установим пределы интегрирования для внешнего интеграла по переменной у. Как видно из рисунка, наименьшее значение которое принимает у в точке А(1;0) равно 0, а наибольшее значение в точке В(5; 4) равно 4. Т.О. новые пределы интегрирования: 0 – нижний, 4 – верхний.

Определим пределы для внутреннего интеграла по переменной х. Выразим х из уравнений: