Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij Î R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t = 1 2 … n называется взаимно-однозначное

t (1) t (2) …t (n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t --1 ) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t )

где t -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2t (2) …ant (n) , A=(aij)n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1° . |A|=|At|,где Аt -трансионированная;

2° . Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3° . Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4° . Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5° . Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6° . Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7° . Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a1+...ak b1+...bk c1+....ck),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8° . Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .

Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +....+anjAnj или

|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +...+ain Ain .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a11…a1n

|A|= a21…a2n = ann Mnn

………

0……ann

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=å sgn(t )a1t (1) a2 t (2)…a n-1,t (n-1) a nt (n)

Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn(t ) a1t (1) a 2 t (2)....a n-1,t (n-1) a n n =a n n (sgn(t ’) a 1t (1) a 2 t (2) ...a n-1,t (n-1)),где

t = 1 2 ... n-1 n t ’ = 1 2 ... n-1

t (1) t (2) ... t (n-1) t (n) , t (1) t (2) ... t (n) , т.к

t = 1 2 ... n-1 n = 1 2 .... n

t (1) t (2) ... t (n-1) t (n ) t (1) t (2) ... t (n) ,то sgn (t ) =sgn(t ’).

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=annMnn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

a 11 ... a 1j .. a 1n

|A|= ................................. = a ij A ij

0 ... a ij ... 0

..................................

a n1 ... a nj ... a nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A11 ... a1j ... a1n a11 .. a1j ..a1n a11 .. a1n .. a1j

A = ....................... = n-i .................... =n-i n-j .................... =

0 .. aij ... 0 an1 .. anj ..ann an1 .. ann ..anj

an1 .. anj ... ann 0 .. aij .. 0 0 .. 0 .. aij

=2n-Mij*aij=i+jaijMij=aijAij

Случай 3. |A|=a1iA1i +a2iA2i +....+aniAni.

A11 .. a1j .. ann ... a1j+0+..+0 ... .. a1j .. .. 0 .. ... 0

A21 .. a2j .. a2n ... 0 +a2j+..+0 .. .. 0 .. .. a2j .. ... 0

A = ..................... = ......................... = ......... + .......... +..+ ....... =

an1 .. anj .. ann ... 0+0+..+anj ... .. 0 .. .. 0 .. ...anj

= a1jA1j+a2jA2j+..+anjAnj

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система å aijxj=bi, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:

xi= , где = A ,

D xi-определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) å aijxj=bj, i=j=1,n, |A| ¹ 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .

X1 b1

X= X2 , b = b2

.. ..

xn bn

Если |A| ¹ 0® $ А-1 Þ А-1АХ=А-1b Þ X=A-1 b. Известна теорема утверждающая, что A-1 = A* , где A* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

A11 A21 .. An1 b1 b1A11+b2A22+..+bnAn1

X= A* b = A12 A22 .. An2 b2 = b1A12+b2A22+..+bnAn2 =

........................ ... ...................................

A1n A2n .. Ann bn b1A1n+b2A2n+..+bnAnn

x1

= x2 ,

......

xn

что и позволит получить формулу: Xi= , где = A , i=1,n

Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aÎ A, bÎ B}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W={ ( a,b) /,a,bÎ A} ; aWb, a,bÎ A; ( a,b) Î W,где a,bÎ A

Например, бинарные отношения являются:

1. "^ "на множестве прямых.

2. "=" на множестве чисел.

3. " @ " изоморфизм на множестве алгебр.

4. " ~ " эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: " aÎ A, aWa;

2) симметричность: " a,bÎ A, aWbÞ bWa;

3) транзитивность: " a,b,c Î A,aWb и bWcÞ aWc

4) связность: " a,bÎ A,aWbÞ bWa;

5) антирефлексивность: " aÎ A,( a,a) Ï W;

6) антисимметричность: " a,bÎ A,aWb,bWaÞ a=b

В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают

классификацию, которую представим схемой:

Бинарное

отношение

функциональность эквивалентность: порядок:

" xÎ A, $ ! yÎ A: рефлексивность, антисимметричность,

f:x® y cимметричность, транзитивность

транзитивность

строгий порядок: нестрогий порядок:

антирефлексивность рефлексивность

частичный порядок: полный порядок:

не обладает свойством обладает связностью

связности

Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WÌ A*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A¹ 0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

Ka={ x/xWa /x,aÎ A} a-образующий элемент класса.

свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A¹ 0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

a-образующий элемент класса.

Классы эквивалентности обладают свойствами:

1. " aÎ A попадает в какой-либо класс, что означает, что Ka¹ 0 . Это утверждение следует из введенного определения класса.

Любые два элемента из класса находятся в отношении, т.е. если b,cÎ K a , b w c.

c,bÎ KaÞ a w c, Þ c w a , Þ c w b

a w b a w b

Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.

3° . Классы не пересекаются, т.е. КаÇ Кb=Æ

Пусть КаÇ Кb¹ Æ ® $ сÎ КаÇ КbÞ сÎ Ка,сÎ КbÞ сWа,cWbÞ аWс,сWbÞ аWbÞ Ка=Кb.

Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A,W-эквивалентности Þ Ka ,Kb ,...Þ

a) классы-подмножества A;

b) классы-неизвестного подмножества;

c) классы-не пересекающиеся;

d) È Ka =A , аÎ А

Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 3.Если на А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности .

Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.

Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: "принадлежность одному подмножеству", то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность.

Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называют фактор-множеством. Итак, A/w= { Ka /a Î A } .

Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности:

Hа множестве дробей {a/b, аÎ Z, bÎ N} зададим отношение "=": а/b=с/dÛ ad=bс.

Тогда класс эквивалентности Ка/b=x/y-рациональное число, а {Ka/b}=A/W-множество рациональных чисел.

2. Z, “º ”: aº b(mod m)Û (a-b)M m, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов.

3. Ф-множество фигур, " ~ "-подобие. Это отношение рождает понятие "форма фигуры" как класса подобных фигур.

Вопрос 5 . Элементы теории групп.

Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них – группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.

Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A,V>,где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.

Опр. 2. Пусть дано множество A¹ Æ . Алгебраическая операция “o ” на множестве А называется отображение f: А® А, т.е. для " a,bÎ A, ($ ! ) cÎ A:ao b=c

Опр. 3. Группой называется алгебра <G, o > с одной алгебраической операцией “ o ”,

удовлетворяющей свойствам (аксиомам):

1° ." a,b,cÎ G, ao (bo c)=(ao b)o c,

2° .$ eG," aÎ G: eo a=ao e=a.

3° ." aÎ G, $ a° Î G:ao a° =a° o a=e.

e-нейтральный элемент относительно операции;

а° -симметричный относительно операции для а.

Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой:

 

 

 

 

 

 

Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.

Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.

1. Пусть для еÎ G, $ e1,e2-нейтральный (единственный), рассмотрим

(1):e1e=ee1=e.

(2): e2e=ee2, откуда получим:

e1=e1e=e1ee2=ee2=e2, т.е. e1=e2.

2. Пусть для aÎ G, $ a1-1, a2-1-обратный для а.

Рассмотрим (1): a1-1a=aa1-1=e

(2): a2-1a=aa2-1=e , откуда получим:

a1-1aa2-1=ea2-1=a2-1,

a1-1aa2-1=a1-1e=a1-1 Þ a2-1=a1-1.

3. ax=b; aÎ GÞ $ a-1: aa-1=a-1a=e. Домножим уравнение на a-1:

a-1ax=a-1bÞ ex=a-1bÞ x=a-1b.

Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:

ax1=b, ax2=b-равенства, домножим на а-1:

x1=a-1b, x2=a-1b.

В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать.

Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.

Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .

Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1° ." a,bÎ K, ab,baÎ K.

2° ." aÎ K, a-1Î K.

Þ G-группа, K Ì G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1° ,2° выполнены.

Ü G-группа, K Ì G, 1° , 2° . Покажем, что K p G, т. е. К-группа.

Для доказательства необходимо проверить четыре условия:

Замкнутость К относительно групповой операции. Ассоциативность этой операции. Существование нейтрального элемента. Существование для каждого элемента обратного.

Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КÌ G. Проверим 3:

Т. к. " aÎ K, $ a-1Î K ,условие 1° , то аa-1 Î К. Но аa-1= е, следовательно, еÎ К, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).

Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.

Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:

aº b(mod K)Û ab-1 Î K. Проверим, что отношение “º ”-является эквивалентностью.

1).]aÎ GÞ $ a-1G, aa-1=e, eÎ KÞ aa-1Î KÞ aº a(mod K)Þ ”º ”-рефлексивно.

2).]aº b(mod K)Þ ab-1Î K, (a-b-1)-1Î KÞ ba-1Î KÞ bº a(mod K)Þ ”º ”-симметрично.

3).]aº b(mod K), bº c(mod K)Þ ab-1Î K, bc-1Î KÞ (ab-1)(bc-1)Î KÞ ac-1Î KÞ

aº c(mod K)Þ ”º ”-транзитивно.

Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.

Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g Î G, g¯ и покажем, что g¯=Kg=K, gÎ

Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.

G=G/”º ”-фактор-множество.

Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:

“aº b(mod K)Û b-1aÎ K”.

Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем È Кg=G и È gK=G, a {Kg/gÎ G} и {gK/gÎ G}-образуют фактор-множества.

Возможен случай, когда для " gÎ G, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.

Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg1Hg2=Hg1g2 . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если

a, a'Î Hg1, b,b'Î Hg2, то abº a'b'(mod H), т.е. ab, a'b'Î Hg1g2.

ab=(h1g1)(h2g2)=h1h2g1g2=hg1g2Þ abÎ Hg1g2;

a'b'=(h1'g1)(h2'g2)=h1'h2'g1g2=h'g1g2Þ a'b'Î Hg1g2, следовательно

ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.

Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.

Т. к. G, H p G-нормальная, {Hg/g G}=G/”º ” . Зададим операцию: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой.

1° .Hg1(Hg2Hg3)=Hg1(Hg2g3)=Hg1(g2g3)=H(g1g2)g3=Hg1g2Hg3=(Hg1Hg2)Hg3Þ операция ассоциативная.

2. Hg=He=H " Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.

3.Hg, Hg-1: HgHg-1=Hgg-1=He=H;

Hg-1Hg=Hg-1g=He=H, семейство класса Hg-1 выполняет роль обратного для Hg,

т.е. (Hg)-1=Hg-1.

так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.

 

 

Вопрос 6 Элементы теории колец.

В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.

Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.

Опр.1 Наш опрос Как Вы оцениваете работу нашего сайта? Отлично Не помог Результаты опроса Реклама   Мнение авторов может не совпадать с мнением редакции сайта Перепечатка материалов без ссылки на наш сайт запрещена