База курсовых работ, рефератов, научных работ! Otryvnoy.ru Рефераты, курсовые, дипломные работы

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Абзалимов Р.Р.

В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосизаменяется на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.

I. Регулярная задача

Рассмотрим следующую краевую задачу:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                   (1.1)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                    (1.2)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                    (1.3)

Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.4)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

с граничными условиями

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.5)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.6)

где

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                              (1.7)

Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси удовлетворяет так называемым условиям сопряжения

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                                              (1.8)

В каждом интервале  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси решения  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосиуравнения (1.4) имеют вид:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                            (1.9)

Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                  (1.10)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                            (1.11)

Из первого краевого условия получаем зависимость  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси от  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                                         (1.12)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси выписывается явно.

Пусть  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные значения и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

и пусть Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные значения задачи (1)-(3) и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                        (1.13)

Заметим прежде, что  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                               (1.14)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                        (1.15)

Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Представим ее в виде

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                (1.16)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Применяя метод последовательных приближений, получаем:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                       (1.17)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - решения уравнения (1.4).

Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).

Из (1.15) нетрудно установить неравенство:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                           (1.18)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда имеет место следующее равенство:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                               (1.19)

при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.

Следствие 1.1  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Следствие 1.2  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6),  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).

Следствие 1.3  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосисовпадают со всеми корнями уравнения  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Следствие 1.4  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси образуют полную систему собственных функций.

II. Сингулярная задача. Случай  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                     (2.1)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                     (2.2)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. В случае, когда  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси; таким образом, для каждого  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Если бы мы знали все значения собственных функций  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, соответствующие собственным числам  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосизадачи на полуоси, в точке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, то, решая задачи на конечном промежутке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с дополнительным граничным условием  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (условие Дирихле) и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (условие Неймана). Пусть  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:

ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                         (2.3)

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси[1] .

Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.

ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                                        (2.4)

Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.

Замечание В случае полуограниченного оператора ( Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.

Следствие 2.1  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - длина промежутка  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Пример

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Известно, что  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосивычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

III. Сингулярная задача. Случай  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                  (2.1)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                  (2.2)

Имеет место следующая (см. [3])

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосиудовлетворяет следующим условиям

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси , при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси сохраняет знак для больших  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда спектр оператора  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосии  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси) стремится к нулю при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая

ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с дополнительным краевым условием  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, то справедливо равенство  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси для всех  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).

Замечание 2 Для расчета собственных чисел  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси задачи (2.1)-(2.2), промежуток  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси заменяется на  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

IV. Сингулярная задача. Случай  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                   (3.1)

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                                   (3.2)

с дополнительными условиями:

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси голоморфна в точке  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, причем  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси монотонно, и  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с единственной предельной точкой  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, а собственные функции  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, отвечающие собственным значениям  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, имеют в интервале  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси в точности  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.

Пример

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси .

Известно (см. [3]), что  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа.

Введем обозначения:  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

где  Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение

 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

n



Наш опрос
Как Вы оцениваете работу нашего сайта?
Отлично
Не помог
Реклама
 
Мнение авторов может не совпадать с мнением редакции сайта
Перепечатка материалов без ссылки на наш сайт запрещена