Замкнутые инвариантные пространства функций на кватернионных сферах

Замкнутые инвариантные пространства функций на кватернионных сферах

Замкнутые инвариантные пространства функций на кватернионных сферах

И.А. Латыпов, Омский государственный университет, кафедра математического анализа,

Кватернионную сферу S4n-1 естественно рассматривать как однородное пространство группы Sp(n), действие задается левыми сдвигами. В связи с этим возникает задача описания замкнутых Sp(n)-инвариантных подпространств L p при и пространства непрерывных функций на сфере S4n-1, решенная в данной работе.

1. Предварительные сведения из теории алгебр Ли.

Группу Sp(n,C) зададим как множество матриц, удовлетворяющих условию StJS=J, где , 1n - единичная матрица размером . Дифференцированием получим соотношение XtJ+JX=0 для элементов алгебры Ли sp(n,C), а в блочном виде B=Bt, C=Ct. Выберем базис :

Подалгебра диагональных матриц будет картановской, - корневая система, где . Неприводимое представление алгебры Ли характеризуется своим старшим весом, лежащим в доминантной камере Вейля и имеющим целочисленные координаты. Размерность неприводимого представления, соответствующего старшему весу , вычисляется по формуле

где - полусумма положительных корней. Порядок будем считать лексикографическим. Более подробную информацию об алгебрах Ли можно найти в [2].

2. Представления алгебры Ли sp(n,C) в пространствах H(p,q).

Введем обозначения: Ok- пространство однородных полиномов степени однородности k, O(p,q) - пространство однородных полиномов степени однородности p и q по переменным z и соответственно (однородность понимается в вещественном смысле), Hk - пространство гармонических полиномов из Ok, H(p,q) - пространство гармонических полиномов из O(p,q).

Рассмотрим сначала алгебру u(n). Выберем ее базис над R в виде

Пусть - представление группы U(n) в Ok левыми сдвигами, . Дифференцированием функции s(exp(-tX)z) по t при t=0 получаем представление алгебры Ли u(n): где , , умножение - скалярное.

Задавая в u(n)C базис , получаем

Применим полученные формулы для представления алгебры sp(n,C)=sp(n)C:

где wi=zn+i.

H(p,q) - неприводимые компоненты представления u(n) и u(n)C, см. [4]. Значит, неприводимыми компонентами представления sp(n) и sp(n,C) будут некоторые подпространства H(p,q). Введем операторы ,

Проверка на базисных элементах дает

Предложение 1. Операторы L1 и L2 являются сплетающими для некоторых пар неприводимых представлений.

Найдем теперь старшие векторы из H(p,q), соответствующие неприводимым представлениям sp(n,C), они должны зануляться положительными операторами Dbij для всех i и j и Daij при i>j. Прямой проверкой получается

Предложение 2. При n>1 многочлен - старший вектор неприводимого представления sp(n,C) со старшим весом

Теорема 1. При n=1 H(p,q) неприводимо, а при n>1 .

Доказательство . Размерность H(p,q) равна

идею доказательства см. в [1].

Если n=1, вектор порождает неприводимое подпространство в H(p,q). Поскольку Da11S=(p+q)S, этот вектор соответствует старшему весу . Тогда 2x1 - единственный положительный корень, то есть H(p,q) неприводимо.

Пусть n>1. Осталось теперь показать, что

Эту формулу можно доказать по индукции, индуктивный переход делается от пары (p,q) к паре (p+1,q-1), а , что доказывает теорему.

Обозначим через инвариантную относительно вращений положительную борелевскую меру на S4n-1, для которой .

Следствие 1. Пространство является прямой суммой попарно ортогональных пространств P(p,q,r).

Следствие 2. Справедливы утверждения: a) В P(p1,q1,r1) и P(p2,q2,r2) при n>1 реализуются эквивалентные представления тогда и только тогда, когда p1+q1=p2+q2 и r1=r2.

b) При n=1 в H(p1,q2) и H(p2,q2) реализуются эквивалентные представления тогда и только тогда, когда p1+q1=p2+q2.

Пусть Ws,r и Ws - пространства линейных комбинаций векторов и соответственно с комплексными коэффициентами, . Введем также пространства и при n>1.

Следствие 3. Ws,r и Ws - пространства старших векторов неприводимых представлений со старшим весом и s соответственно. Сплетающие операторы неприводимых представлений можно выразить как многочлены от операторов L1 и L2.

Более подробные сведения из теории представлений можно найти, например, в [3].

3. Инвариантные пространства функций на S4n-1.

Пространство Y на сфере S4n-1 назовем инвариантным, если для всех f из Y и всех g из Sp(n) f*g лежит в Y. Неприводимость представления группы Ли Sp(n) эквивалентна неприводимости представления комплексификации ее алгебры Ли sp(n,C), поэтому пространства P(p,q,r) и H(p,q) при n=1 инвариантны.

Если Y - инвариантное замкнутое подпространство , то также инвариантно и ортогональная проекция коммутирует с Sp(n). Это верно также для ортогональных проекций и .

Когда в пространствах V и W реализуются неприводимые представления, пространство сплетающих операторов из V в W либо одномерно (если представления эквивалентны), либо пусто. Отсюда, из следствия 2 теоремы 1 и предложения 1 вытекает

Предложение 3. Пусть n>1 и линейное отображение коммутирует с Sp(n). Тогда

1) если или , то T=0.

2) если r1=r2 и p1+q1=p2+q2, то найдется константа C, такая что при T=CL2p1-p2, при T=CL1p2-p1.

Обозначим через неприводимое инвариантное пространство со старшим вектором , а через -замыкание пространства Y.

Теорема 2. Если Y - замкнутое инвариантное подпространство , то , .

Доказательство. Пусть n>1 и тройка (p,q,r) такая, что . Так как Y инвариантно и коммутирует с Sp(n), то - нетривиальное инвариантное подпространство P(p,q,r). Значит, Пусть и Y1 - ортогональное дополнение к Y0 в Y. Тогда Y0 инвариантно как ядро оператора, коммутирующего с Sp(n), значит Y1 также инвариантно. Более того, - изоморфизм, обратный к которому обозначим

Выберем другую тройку (p',q',r') и рассмотрим отображение Оно коммутирует с Sp(n) и переводит P(p,q,r) в P(p',q',r'). Значит, по предложению 3, для всех (p',q',r'), таких что

Тогда Y1 - подпространство . Рассмотрим и содержащее его минимальное инвариантное пространство, оно совпадает с Y1.

Пользуясь теоремой 1, получаем нужный результат. Случай n=1 доказывается аналогично.

Пусть далее X обозначает одно из пространств , и C(S4n-1). Как следствие теоремы об общем виде линейного ограниченного функционала на получается

Предложение 4. При n>1 для всех троек (p,q,r) и всех точек z на S4n-1 найдется полином Kz из P(p,q,r) такой, что для любой функции f из

Для всех пар (p,q) и всех точек z на S3 найдется полином Kz из H(p,q) такой, что для любой функции f из

Следствие. Операторы и продолжаются до непрерывных операторов на

Далее потребуются следующие две леммы, которые приводятся без доказательства.

Лемма 1. Если Y - замкнутое инвариантное подпространство X, то плотно в Y.

Лемма 2. Если Y инвариантное подпространство C(S4n-1), непрерывная функция g не лежит в равномерном замыкании Y, то g не лежит и в L2-замыкании Y.

Докажем основной результат данной работы.

Теорема 3. Если Y - инвариантное подпространство X и - из теоремы 2, то .

Доказательство. По следствию из предложения 4 и определены на . Пусть - L2-замыкание Так как -замкнуто, то плотно в Y по лемме 1 и равномерно замкнуто. По лемме 2 Так как и X-непрерывны и L2-непрерывны, то и

Поэтому по теореме 2 Так как лежит в C(S4n-1), то, применяя лемму 2, получаем: = равномерное замыкание

Отсюда и из того, что X-плотно в Y и вытекает утверждение теоремы.

В заключение несколько слов об инвариантных алгебрах на кватернионных сферах. Унитарно-инвариантные алгебры были описаны в [4], их пространства максимальных идеалов были найдены в работе [5]. В симплектическом случае дело существенно усложняется из-за кратности представлений в пространствах однородных полиномов. Однозначного разложения на неприводимые компоненты не получается, и, как следствие, мера Хаара не будет мультипликативной. Уже при n=1 возникает большое число инвариантных алгебр, не инвариантных относительно действия унитарной группы.

Список литературы

Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.

Наймарк М. А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976.

Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn. М.: Мир, 1984.

Kane J. Maximal ideal spaces of U-algebras // Illinois J. Math. V.27. 1983. N.1. P.1-13.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/